R-Kurs · Kapitel 10 · Diskrete Verteilungen in R

Diskrete Verteilungen in R

Die magischen Buchstaben

Zu jeder Verteilung gibt es vier Funktionen mit demselben Namensstamm und einem Präfix: d (Wahrscheinlichkeit P(X=k)), p (Verteilungsfunktion P(X≤k)), q (Quantil), r (Zufallszahlen).

Binomialverteilung

dbinom(2, size = 20, prob = 0.2)   # P(X = 2)
pbinom(2, size = 20, prob = 0.2)   # P(X <= 2)
1 - pbinom(9, 20, 0.2)             # P(X >= 10)
qbinom(0.95, 20, 0.2)              # 95%-Quantil

Ausgabe

[1] 0.1369334
[1] 0.2060847
[1] 0.002594827
[1] 7

Mini-Aufgabe

Ein fairer Münzwurf wird 10-mal wiederholt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau 5 Mal Kopf? (Binomialverteilung)

💡 Tipp

d… liefert P(X = k).

Lösung zeigen

# Bin(10, 0.5): genau 5 Erfolge
dbinom(5, size = 10, prob = 0.5)

Ausgabe

[1] 0.2460938

Geometrische Verteilung

Achtung: R zählt bei dgeom(k, p) die Misserfolge $k$ vor dem ersten Erfolg, also $k = x - 1$ .

dgeom(0, prob = 0.3)   # P(X = 1): 0 Misserfolge
dgeom(4, prob = 0.3)   # P(X = 5): 4 Misserfolge
pgeom(9, prob = 0.3)   # P(X <= 10)

Ausgabe

[1] 0.3
[1] 0.07203
[1] 0.9717525

Mini-Aufgabe

Bei $\pi = 0{,}2$ : Wie wahrscheinlich ist der erste Erfolg genau beim dritten Versuch? (Denke an die R-Zählweise.)

💡 Tipp

Für die x-te Person: dgeom(x - 1, p). Hier x = 3, also dgeom(2, 0.2).

Lösung zeigen

# P(X = 3) = P(2 Misserfolge), p = 0.2
dgeom(2, prob = 0.2)

Ausgabe

[1] 0.128

Poisson-Verteilung

dpois(0, lambda = 3)   # P(X = 0)
ppois(2, lambda = 3)   # P(X <= 2)

Ausgabe

[1] 0.04978707
[1] 0.4231901

Merke: dgeom/qgeom/pgeom zählen die Misserfolge ( $x-1$ ). Für „die x-te Person durchkommt” also dgeom(x - 1, p).

Abruf-Quiz

Frage 1 / 2

Was berechnet dbinom(2, size = 20, prob = 0.2)?

x <- c(3, 1, 4, 1, 5) # Vektor anlegen y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9)) # 26x 0, 9x 1 s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100) # gleichmäßige Folge 1:10 # Ganzzahlfolge length(x); sort(x); rev(x) # Länge, sortieren, umkehren x[x > 2] # logische Indizierung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)") # Säulen pie(table(x), labels = c("nein", "ja")) # Kreis hist(x) # Histogramm (Auto-Klassen) hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5), # eigene Klassen col = heat.colors(12), xlab = "kg") plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2) # Linie lines(s, cos(s)) # weitere Linie ergänzen boxplot(x) # Box-Plot

mean(x) # arithmetisches Mittel median(x) # Median quantile(x, c(.25, .5, .75)) # Quartile quantile(x, 0.9) # 90%-Quantil # Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit names(which.max(table(x)))

var(x) # Stichprobenvarianz (/ (n-1)) sd(x) # Standardabweichung IQR(x) # Interquartilsabstand range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite sd(x) / mean(x) # Variationskoeffizient

dbinom(k, size = n, prob = p) # Binomial P(X = k) pbinom(k, n, p) # P(X <= k) dpois(k, lambda); ppois(k, lambda) dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd) # Normal qnorm(0.975) # Quantil (z-Wert) rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # Zufallszahlen

t.test(x, mu = 0) # t-Test / KI für mu t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int # Konfidenzintervall prop.test(k, n) # Anteilstest chisq.test(table(a, b)) # Unabhängigkeitstest