Cheatsheet · Statistik Lernwebsite

1Grundlagen & Skalen

Merkmalstypen: $qualitativ / quantitativ · diskret / stetig$ Haarfarbe (qual.), Alter (quant., stetig)
Skalenniveaus: $\text{nominal} \subset \text{ordinal} \subset \text{intervall} \subset \text{verhältnis}$ nominal: Farbe · ordinal: Note · metrisch: Länge
Erlaubte Maße: $\text{nominal: Modus} \to \text{ordinal: +Median} \to \text{metrisch: +Mittel, Varianz}$
Grundbegriffe: $\text{Grundgesamtheit, Stichprobe } (n), \text{ Merkmal } X, \text{ Ausprägung } a_j$

Absolute/relative Häufigkeit: $h_j,\quad f_j=\dfrac{h_j}{n},\quad \textstyle\sum h_j=n,\ \sum f_j=1$
Empir. Verteilungsfunktion: $F(x)=\!\!\sum_{a_j\le x}\! f_j$ Anteil der Werte $\le x$ ; Treppenfunktion 0→1
Arithmetisches Mittel: $\bar x=\dfrac1n\sum_{i=1}^n x_i=\sum_j a_j f_j$ $1,2,3\Rightarrow \bar x=2$
Median: $x_{med}=x_{(\frac{n+1}{2})}\ (n\text{ ung.}),\ \tfrac12(x_{(\frac n2)}+x_{(\frac n2+1)})\ (n\text{ ger.})$ $1,3,5,7\Rightarrow 4$
Modus: $x_{mod}=\text{häufigste Ausprägung}$
Geometrisches Mittel: $\bar x_{geom}=\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}$ für Wachstumsfaktoren
p-Quantil: $x_p:\ \text{mind. } p\cdot100\%\text{ darunter}$ $x_{0{,}25}$ unteres Quartil
Lageregel (Schiefe): $x_{mod}<x_{med}<\bar x\ \Rightarrow\ \text{linkssteil (rechtsschief)}$

Spannweite: $R=x_{max}-x_{min}$
Interquartilsabstand: $IQR=x_{0{,}75}-x_{0{,}25}$ robust gegen Ausreißer
Empirische Varianz: $\tilde s^2=\dfrac1n\sum_i (x_i-\bar x)^2$
Stichprobenvarianz: $s^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_i (x_i-\bar x)^2$ in R: var(x), sd(x)
Standardabweichung: $s=\sqrt{s^2}$
Variationskoeffizient: $v=\dfrac{s}{\bar x}\ (\ge 0)$ dimensionslos, relativer Vergleich
Gini-Simpson (nominal): $v_G=\sum_j f_j(1-f_j)$
Histogramm: $\text{Höhe}=\dfrac{h_j}{d_j},\quad \text{Fläche}\propto h_j$ bei ungleichen Klassen zählt die Fläche!
Box-Plot Ausreißer: $<x_{0{,}25}-1{,}5\,IQR\ \text{oder}\ >x_{0{,}75}+1{,}5\,IQR$

Bedingte rel. Häufigkeit: $f_Y(b_j\mid a_i)=\dfrac{h_{ij}}{h_{i\cdot}}$
Erwartete Häufigkeit: $\tilde h_{ij}=\dfrac{h_{i\cdot}\,h_{\cdot j}}{n}$
Chi-Quadrat: $\chi^2=\sum_{i,j}\dfrac{(h_{ij}-\tilde h_{ij})^2}{\tilde h_{ij}}$
Kontingenzkoeffizient: $K=\sqrt{\dfrac{\chi^2}{n+\chi^2}},\quad K^*=\dfrac{K}{\sqrt{(M-1)/M}}$ M=min(Zeilen,Spalten)
Cramérs V: $V=\sqrt{\dfrac{\chi^2}{n\,(M-1)}}\in[0,1]$
Kovarianz: $\tilde s_{XY}=\dfrac1n\sum_i (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)$
Pearson-Korrelation: $r=\dfrac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum (x_i-\bar x)^2}\,\sqrt{\sum (y_i-\bar y)^2}}\in[-1,1]$
Spearman: $r_{SP}=\text{Pearson auf Rängen}$ monotoner Zusammenhang, robust
Regression (KQ): $b_1=\dfrac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum (x_i-\bar x)^2},\quad b_0=\bar y-b_1\bar x$
Bestimmtheitsmaß: $R^2=\dfrac{SQE}{SQT}=r^2\in[0,1]$ Anteil erklärter Streuung

Laplace: $P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}=\dfrac{\text{günstige}}{\text{mögliche}}$
Komplement: $P(\bar A)=1-P(A)$
Additionssatz: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
Bedingte W.: $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
Multiplikation: $P(A\cap B)=P(A\mid B)\,P(B)$
Unabhängigkeit: $P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$
Totale W.: $P(B)=\sum_i P(B\mid A_i)\,P(A_i)$
Satz von Bayes: $P(A_i\mid B)=\dfrac{P(B\mid A_i)P(A_i)}{\sum_k P(B\mid A_k)P(A_k)}$

Fakultät / Binomial: $n!,\quad \binom nk=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ R: factorial(n), choose(n,k)
Permutationen: $n!\ \text{(alle anordnen)}$
Variationen (Reihenfolge): $\text{o. Wdh. } \dfrac{n!}{(n-k)!},\quad \text{m. Wdh. } n^k$
Kombinationen (ohne R.): $\text{o. Wdh. } \binom nk,\quad \text{m. Wdh. } \binom{n+k-1}{k}$

Erwartungswert: $E(X)=\mu=\sum_x x\,f(x)$
Varianz: $\operatorname{Var}(X)=\sum_x (x-\mu)^2 f(x)=E(X^2)-\mu^2$
Rechenregeln: $E(aX+b)=aE(X)+b,\ \operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$
Summe (unabh.): $E(X+Y)=E(X)+E(Y),\ \operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)$
Binomial $B(n,\pi)$: $f(x)=\binom nx \pi^x(1-\pi)^{n-x},\ E=n\pi,\ \operatorname{Var}=n\pi(1-\pi)$
Poisson $Po(\lambda)$: $f(x)=\dfrac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda},\ E=\operatorname{Var}=\lambda$
Geometrisch: $f(x)=(1-\pi)^{x-1}\pi,\ E=\dfrac1\pi$ Warten auf 1. Erfolg (x=1,2,…)
Hypergeometrisch: $f(x)=\dfrac{\binom Mx\binom{N-M}{n-x}}{\binom Nn}$ ohne Zurücklegen
Diskrete Gleichvert.: $E=\dfrac{k+1}{2},\ \operatorname{Var}=\dfrac{k^2-1}{12}$ fairer Würfel

Dichte & Verteilungsfkt.: $F(x)=\int_{-\infty}^{x}\! f(t)\,dt,\quad P(a<X<b)=F(b)-F(a)$
Eigenschaften: $P(X=x)=0,\quad E(X)=\int x\,f(x)\,dx$
Gleichverteilung $U(a,b)$: $f=\dfrac{1}{b-a},\ E=\dfrac{a+b}{2},\ \operatorname{Var}=\dfrac{(b-a)^2}{12}$
Exponential $Exp(\lambda)$: $F(x)=1-e^{-\lambda x},\ E=\dfrac1\lambda,\ \operatorname{Var}=\dfrac1{\lambda^2}$ $\lambda$ = Rate, gedächtnislos
Normal $N(\mu,\sigma)$: $f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$
Standardisieren: $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1),\ F(x)=\Phi\!\left(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\right)$
Symmetrie: $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$
Quantil: $x_p=\mu+z_p\cdot\sigma$

Schätzer: $\bar X=\tfrac1n\sum X_i,\ \ S^2=\tfrac{1}{n-1}\sum (X_i-\bar X)^2$
Erwartungstreue: $E(\hat\theta)=\theta\ \text{(kein syst. Fehler)}$
Standardfehler: $\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\ \text{bzw.}\ \dfrac{s}{\sqrt n}$
KI $\mu$ ($\sigma$ bekannt): $\bar x\pm z_{1-\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$ 95\%: z=1{,}96
KI $\mu$ ($\sigma$ unbek.): $\bar x\pm t_{1-\alpha/2}(n-1)\,\dfrac{s}{\sqrt n}$ R: t.test(x)$conf.int
KI Anteil: $\hat p\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$
Breite: $\text{Niveau}\uparrow,\ \sigma\uparrow \Rightarrow \text{breiter};\ n\uparrow \Rightarrow \text{schmaler }(\propto 1/\sqrt n)$

Ablauf: $1.\,H_0/H_1\ \ 2.\,\alpha\ \ 3.\,\text{Prüfgröße}\ \ 4.\,\text{Ablehnbereich}\ \ 5.\,\text{Wert}\ \ 6.\,\text{Entscheidung}$
Fehler 1. Art: $\alpha=P(H_0\text{ verwerfen}\mid H_0\text{ wahr})$
Fehler 2. Art: $\beta=P(H_0\text{ behalten}\mid H_1\text{ wahr}),\ \text{Güte}=1-\beta$
Gauß-Test ($\sigma$ bek.): $z=\dfrac{\bar x-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\ \overset{H_0}{\sim} N(0,1)$
t-Test ($\sigma$ unbek.): $t=\dfrac{\bar x-\mu_0}{s/\sqrt n}\ \sim t(n-1)$
Zweiseitig: $|z|>z_{1-\alpha/2}\ \Rightarrow\ H_0\text{ verwerfen}$
Einseitig: $z>z_{1-\alpha}\ (\text{bzw. } z<-z_{1-\alpha})$
p-Wert: $p<\alpha\ \Rightarrow\ H_0\text{ verwerfen}$ „nicht signif." ≠ „ $H_0$ wahr"

z-Quantile: $z_{0{,}90}=1{,}28,\ z_{0{,}95}=1{,}645,\ z_{0{,}975}=1{,}96,\ z_{0{,}99}=2{,}33,\ z_{0{,}995}=2{,}576$
σ-Regeln (Normal): $\mu\pm\sigma\!\approx\!68{,}3\%,\ \mu\pm2\sigma\!\approx\!95{,}4\%,\ \mu\pm3\sigma\!\approx\!99{,}7\%$
Faustregeln: $k\approx\sqrt n\ \text{Klassen};\ n>30:\ t\approx z$