Kapitel 7 · Schätzverfahren

Prüfverteilungen: χ² und t

Zentrale Schwankungsintervalle

Bevor man schätzt, lohnt der Blick auf die Streuung der Normalverteilung. Das zentrale Schwankungsintervall um $\mu$ enthält die mittleren $1-\alpha$ :

P\big(\mu - z_{1-\alpha/2}\,\sigma \le X \le \mu + z_{1-\alpha/2}\,\sigma\big) = 1 - \alpha

$1-\alpha$	$z_{1-\alpha/2}$
90 %	1,64
95 %	1,96
99 %	2,58

Das ist die 68-95-99,7-Regel in Quantilform — und der Bauplan für Konfidenzintervalle.

Die χ²-Verteilung

Quadriert und summiert man $n$ unabhängige Standardnormalvariablen, entsteht die χ²-Verteilung mit $n$ Freiheitsgraden:

Z = X_1^2 + \dots + X_n^2 \sim \chi^2(n), \qquad E(Z) = n, \quad \operatorname{Var}(Z) = 2n

Sie ist rechtsschief und nur für $x \ge 0$ definiert. Sie beschreibt u. a. die Verteilung der Stichprobenvarianz und liegt χ²-Tests zugrunde.

Die t-Verteilung

Ersetzt man im standardisierten Mittelwert das unbekannte $\sigma$ durch die Schätzung $S$ , folgt die Größe nicht mehr exakt einer Normalverteilung, sondern der t-Verteilung (Student):

T = \frac{X}{\sqrt{Z/n}}, \quad X\sim N(0,1),\ Z\sim\chi^2(n) \text{ unabh.}

Sie ist symmetrisch um 0, hat aber schwerere Ausläufer als die Normalverteilung — Ausdruck der zusätzlichen Unsicherheit durch das geschätzte $\sigma$ . Für $n \to \infty$ konvergiert sie gegen $N(0,1)$ (ab $n > 30$ kaum noch ein Unterschied).

Merke: $\sigma$ bekannt → Normalverteilung (z). $\sigma$ geschätzt → t-Verteilung. Genau diese Fallunterscheidung kehrt bei Konfidenzintervallen und Tests wieder.

Abruf-Quiz

Frage 1 / 3

Z ~ N(0,1). Welcher Anteil liegt im zentralen Schwankungsintervall [−1,96; 1,96]?

x <- c(3, 1, 4, 1, 5) # Vektor anlegen y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9)) # 26x 0, 9x 1 s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100) # gleichmäßige Folge 1:10 # Ganzzahlfolge length(x); sort(x); rev(x) # Länge, sortieren, umkehren x[x > 2] # logische Indizierung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)") # Säulen pie(table(x), labels = c("nein", "ja")) # Kreis hist(x) # Histogramm (Auto-Klassen) hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5), # eigene Klassen col = heat.colors(12), xlab = "kg") plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2) # Linie lines(s, cos(s)) # weitere Linie ergänzen boxplot(x) # Box-Plot

mean(x) # arithmetisches Mittel median(x) # Median quantile(x, c(.25, .5, .75)) # Quartile quantile(x, 0.9) # 90%-Quantil # Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit names(which.max(table(x)))

var(x) # Stichprobenvarianz (/ (n-1)) sd(x) # Standardabweichung IQR(x) # Interquartilsabstand range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite sd(x) / mean(x) # Variationskoeffizient

dbinom(k, size = n, prob = p) # Binomial P(X = k) pbinom(k, n, p) # P(X <= k) dpois(k, lambda); ppois(k, lambda) dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd) # Normal qnorm(0.975) # Quantil (z-Wert) rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # Zufallszahlen

t.test(x, mu = 0) # t-Test / KI für mu t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int # Konfidenzintervall prop.test(k, n) # Anteilstest chisq.test(table(a, b)) # Unabhängigkeitstest