Kapitel 8 · Hypothesentests

t-Test

Wenn σ unbekannt ist

In der Praxis ist $\sigma$ fast nie bekannt. Dann schätzt man es durch $S$ und erhält den t-Test:

T = \frac{\bar X - \mu_0}{S/\sqrt n} \overset{H_0}{\sim} t(n-1)

Die Prüfverteilung ist die t-Verteilung mit $n-1$ Freiheitsgraden — wegen der zusätzlichen Unsicherheit durch das geschätzte $\sigma$ hat sie schwerere Ausläufer als $N(0,1)$ . Für $n>30$ ersetzt man die t-Quantile durch z-Quantile.

Durchgerechnet: »Schokolade«

Sollgewicht $\mu_0=102$ g; Stichprobe $n=15$ , $\bar x=104$ , $s=5$ . Zweiseitig, $\alpha=0{,}05$ :

t = \frac{104 - 102}{5/\sqrt{15}} = 1{,}5492, \qquad t_{0{,}975}(14) = 2{,}1448

Da $|1{,}5492| < 2{,}1448$ , wird $H_0$ nicht verworfen: keine signifikante Abweichung vom Sollgewicht. (Im Test gegen den Kern reproduziert.)

Übersicht: welcher Test?

Verteilung von X	σ bekannt	σ unbekannt
normalverteilt	Gauß-Test ( $N(0,1)$ )	t-Test ( $t(n-1)$ )
beliebig, $n>30$	approx. Gauß-Test	approx. Gauß-Test ( $S$ statt $\sigma$ )

Klausurfalle: $\sigma$ bekannt → Gauß (z). $\sigma$ aus den Daten geschätzt → t mit df $= n-1$ . Das ist dieselbe Fallunterscheidung wie beim Konfidenzintervall.

Übungsaufgaben

Übungsaufgabe CO-Gehalt der Abgase — einseitiger t-Test schwer Übung 14, Aufgabe 1

Der CO-Gehalt der Abgase (in ‰) eines Automodells ist näherungsweise normalverteilt. Eine Stichprobe von $n=20$ Fahrzeugen ergab die Werte im R-Code. Der Hersteller behauptet einen durchschnittlichen CO-Wert von 3,15 ‰. Kann man bei $\alpha=0{,}05$ davon ausgehen, dass der durchschnittliche CO-Wert über 3,15 ‰ liegt? Führe einen geeigneten Test durch und interpretiere in einem Satz.

t-Testeinseitiger TestPrüfgrößep-WertNormalverteilung

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co <- c(3.0,3.1,3.0,3.4,3.3,3.1,3.3,3.2,3.6,3.0,
        3.1,3.5,3.0,3.0,3.4,3.0,3.6,3.1,3.2,3.5)
t.test(co, mu = 3.15, alternative = "greater")

Ausgabe

	One Sample t-test
t = 1.4615, df = 19, p-value = 0.07995
mean of x = 3.22

Lösung

0/6 aufgedeckt

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Übungsaufgabe Schokoladengewicht — t-Test schwer Vorlesung K8 (Beispiel mit verdeckter Lösung)

Ein Schokoladenhersteller prüft, ob das erwartete Gewicht einer Tafel dem Sollwert 102 g entspricht. Aus $n = 15$ zufällig gewogenen Tafeln ergeben sich $\bar x = 104$ g und Stichproben-Standardabweichung $s = 5$ g. Das Gewicht sei normalverteilt mit unbekannter Standardabweichung.

Führe einen Test zum Niveau $\alpha = 0{,}05$ durch (formaler Ablauf).

t-Testp-WertTestablauf

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xbar <- 104; mu0 <- 102; s <- 5; n <- 15
t <- (xbar - mu0) / (s / sqrt(n))
t                              # Prüfgröße
qt(0.975, df = n - 1)          # kritischer Wert
2 * (1 - pt(abs(t), df = n - 1))  # zweiseitiger p-Wert

Ausgabe

[1] 1.549193
[1] 2.144787
[1] 0.1436321

Lösung

0/6 aufgedeckt

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Übungsaufgabe Blutdruck-Medikament — t-Test & p-Werte in R schwer Übung 14, Aufgabe 3

14 Patienten erhalten ein blutdrucksenkendes Medikament; die systolischen Werte (mmHg) stehen im R-Code (normalverteilt angenommen). Löse in R: a) Bestimme mit t.test() das zweiseitige 99 %-Konfidenzintervall für $\mu$ . b) Triff zu $\alpha=0{,}05$ jeweils eine Testentscheidung über den p-Wert für (i) $\mu=130$ , (ii) $\mu\le130$ vs. $>130$ , (iii) $\mu\ge130$ vs. $<130$ . c) Bestimme die p-Werte auch ohne t.test().

Rt.testKonfidenzintervallp-Wertein-/zweiseitigTestentscheidung

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bd <- c(126,127,133,128,128,133,129,124,126,127,132,129,129,128)
t.test(bd, conf.level = 0.99)$conf.int          # a) 99%-KI
t.test(bd, mu = 130)$p.value                     # b i) zweiseitig
t.test(bd, mu = 130, alternative = "greater")$p.value  # b ii)
t.test(bd, mu = 130, alternative = "less")$p.value     # b iii)

Ausgabe

[1] 126.36 130.64
[1] 0.0539
[1] 0.973
[1] 0.027

Lösung

0/7 aufgedeckt

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Abruf-Quiz

Frage 1 / 3

Schokolade: x̄=104, μ₀=102, s=5, n=15. Wie groß ist die Prüfgröße t? (4 Nachkommastellen)