Kapitel 6 · Stetige Zufallsvariablen und Verteilungen

Exponentialverteilung

Wartezeiten und Lebensdauern

Die Exponentialverteilung modelliert die Zeit bis zum nächsten Ereignis (Anruf, Ausfall, Zerfall) bei konstanter Rate $\lambda > 0$ :

f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\;(x\ge 0), \qquad F(x) = 1 - e^{-\lambda x}, \qquad E(X) = \frac{1}{\lambda}, \quad \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}

Stelle $\lambda$ und die Schwelle $t$ ein und lies $P(X > t)$ als Fläche ab:

Durchgerechnet: Glühbirne

Mittlere Lebensdauer 100 h, also $\lambda = 0{,}01$ . Wahrscheinlichkeit für eine Lebensdauer über 100 h:

P(X > 100) = 1 - F(100) = e^{-0{,}01\cdot 100} = e^{-1} \approx 0{,}3679

Der Median liegt deutlich unter dem Mittelwert (Rechtsschiefe):

F(x_{med}) = 0{,}5 \;\Rightarrow\; x_{med} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx 69{,}31\ \text{h}

(Beide Werte im Test gegen den Kern reproduziert.)

Gedächtnislosigkeit

Die Exponentialverteilung ist gedächtnislos:

P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)

Ein Bauteil, das bereits $s$ Stunden lief, hat dieselbe Restlebensdauer-Verteilung wie ein neues — es gibt keinen Alterungseffekt. Das macht sie zum Modell für zufällige Ausfälle ohne Verschleiß, ist aber auch ihre wichtigste Einschränkung.

Klausurfalle: $\lambda$ ist die Rate, nicht die mittlere Wartezeit. Die mittlere Wartezeit ist $1/\lambda$ . Bei „mittlere Lebensdauer 100 h“ ist also $\lambda = 1/100 = 0{,}01$ .

Übungsaufgaben

Übungsaufgabe Druckerreparatur — Exponentialverteilung mittel Übung 10, Aufgabe 3

Die Zeit $X$ (in Stunden), die ein Techniker zur Reparatur des Druckers braucht, ist exponentialverteilt mit $\lambda=3$ .

a) Wie lange dauert eine Reparatur im Mittel? b) In 15 Minuten beginnt die Vorlesung — wie wahrscheinlich ist es, dass er rechtzeitig fertig wird? c) Berechne $P(0{,}5\le X\le 0{,}75)$ . d) Welche Reparaturzeit unterbietet er nur mit Wahrscheinlichkeit 0,05?

ExponentialverteilungErwartungswertVerteilungsfunktionQuantil

R R-Lösung anzeigen

1 / 3                                   # a) E(X) = 1/lambda (Stunden)
pexp(0.25, rate = 3)                     # b) P(X <= 0.25)
pexp(0.75, rate = 3) - pexp(0.5, rate = 3)  # c) P(0.5 <= X <= 0.75)
qexp(0.05, rate = 3)                     # d) 5%-Quantil

Ausgabe

[1] 0.3333333
[1] 0.5276334
[1] 0.1176772
[1] 0.01709691

Lösung

0/6 aufgedeckt

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Abruf-Quiz

Frage 1 / 3

Glühbirne, exponentialverteilte Lebensdauer mit mittlerer Lebensdauer 100 h (λ=0,01). Wie groß ist P(X > 100)? (4 Nachkommastellen)

x <- c(3, 1, 4, 1, 5) # Vektor anlegen y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9)) # 26x 0, 9x 1 s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100) # gleichmäßige Folge 1:10 # Ganzzahlfolge length(x); sort(x); rev(x) # Länge, sortieren, umkehren x[x > 2] # logische Indizierung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)") # Säulen pie(table(x), labels = c("nein", "ja")) # Kreis hist(x) # Histogramm (Auto-Klassen) hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5), # eigene Klassen col = heat.colors(12), xlab = "kg") plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2) # Linie lines(s, cos(s)) # weitere Linie ergänzen boxplot(x) # Box-Plot

mean(x) # arithmetisches Mittel median(x) # Median quantile(x, c(.25, .5, .75)) # Quartile quantile(x, 0.9) # 90%-Quantil # Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit names(which.max(table(x)))

var(x) # Stichprobenvarianz (/ (n-1)) sd(x) # Standardabweichung IQR(x) # Interquartilsabstand range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite sd(x) / mean(x) # Variationskoeffizient

dbinom(k, size = n, prob = p) # Binomial P(X = k) pbinom(k, n, p) # P(X <= k) dpois(k, lambda); ppois(k, lambda) dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd) # Normal qnorm(0.975) # Quantil (z-Wert) rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # Zufallszahlen

t.test(x, mu = 0) # t-Test / KI für mu t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int # Konfidenzintervall prop.test(k, n) # Anteilstest chisq.test(table(a, b)) # Unabhängigkeitstest