Kapitel 2 · Univariate deskriptive Statistik

Lagemaße

Das Zentrum einer Verteilung

Lagemaße verdichten die Daten zu einem »typischen« Wert. Setze selbst Punkte und beobachte, wie Mittel und Median auf einen Ausreißer reagieren:

Arithmetisches Mittel

\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{k} a_j h_j = \sum_{j=1}^{k} a_j f_j

Es entspricht dem physikalischen Schwerpunkt, ist nur ab Intervallskala sinnvoll und empfindlich gegenüber Ausreißern.

Median

Der Median ist der Wert in der Mitte der geordneten Reihe $x_{(1)} \le \dots \le x_{(n)}$ :

x_{med} = \begin{cases} x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} & n \text{ ungerade} \\[4pt] \tfrac{1}{2}\left(x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}\right) & n \text{ gerade} \end{cases}

Er ist robust (ab Ordinalskala) und bei wenigen Werten, Asymmetrie oder Ausreißerverdacht zu bevorzugen.

Modus und geometrisches Mittel

Modus $x_{mod}$ : häufigste Ausprägung, bereits für nominale Merkmale.
Geometrisches Mittel $x_{geom} = \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n}$ : für Wachstums-/Zinsfaktoren. Beispiel: Faktoren $1{,}02,\,1{,}07,\,1{,}05$ → $\sqrt[3]{1{,}02\cdot1{,}07\cdot1{,}05}\approx 1{,}0466$ (≈ 4,66 % p. a.).

Quantile und Fünf-Punkte-Zusammenfassung

Das p-Quantil $x_p$ trennt die Daten so, dass mindestens $p\cdot100\%$ darunter liegen:

x_p = \begin{cases} x_{(\lceil np\rceil)} & np \notin \mathbb{Z} \\[2pt] \tfrac12\left(x_{(np)} + x_{(np+1)}\right) & np \in \mathbb{Z} \end{cases}

Spezialfälle: $x_{0{,}5}$ = Median, $x_{0{,}25}$ = unteres, $x_{0{,}75}$ = oberes Quartil. Die Fünf-Punkte-Zusammenfassung $x_{min}, x_{0{,}25}, x_{med}, x_{0{,}75}, x_{max}$ fasst die Verteilung kompakt zusammen (Basis des Box-Plots).

Lageregel als Schiefe-Indikator: Je stärker sich $\bar x$ , $x_{med}$ und $x_{mod}$ unterscheiden, desto schiefer die Verteilung.

Übungsaufgaben

Übungsaufgabe Geometrisches Mittel als R-Funktion schreiben leicht Übung 9, Aufgabe 2

Schreibe in R eine Funktion geom.Mittel, die für positive Daten $x_1,\dots,x_n$ das geometrische Mittel

\bar x_{geom}=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}

berechnet. Teste deine Funktion anschließend mit den Daten $x=2,8,4$ .

Rgeometrisches MittelFunktion schreibenprod

R R-Lösung anzeigen

geom.Mittel <- function(x){
  n <- length(x)
  prod(x)^(1/n)          # n-te Wurzel aus dem Produkt
}
geom.Mittel(x = c(2, 8, 4))

Ausgabe

[1] 4

Lösung

0/5 aufgedeckt

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Abruf-Quiz

Frage 1 / 3

Median der Werte $1,0,3,4,4,2,0,3,0,5$ ? (n=10, geordnet)

x <- c(3, 1, 4, 1, 5) # Vektor anlegen y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9)) # 26x 0, 9x 1 s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100) # gleichmäßige Folge 1:10 # Ganzzahlfolge length(x); sort(x); rev(x) # Länge, sortieren, umkehren x[x > 2] # logische Indizierung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)") # Säulen pie(table(x), labels = c("nein", "ja")) # Kreis hist(x) # Histogramm (Auto-Klassen) hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5), # eigene Klassen col = heat.colors(12), xlab = "kg") plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2) # Linie lines(s, cos(s)) # weitere Linie ergänzen boxplot(x) # Box-Plot

mean(x) # arithmetisches Mittel median(x) # Median quantile(x, c(.25, .5, .75)) # Quartile quantile(x, 0.9) # 90%-Quantil # Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit names(which.max(table(x)))

var(x) # Stichprobenvarianz (/ (n-1)) sd(x) # Standardabweichung IQR(x) # Interquartilsabstand range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite sd(x) / mean(x) # Variationskoeffizient

dbinom(k, size = n, prob = p) # Binomial P(X = k) pbinom(k, n, p) # P(X <= k) dpois(k, lambda); ppois(k, lambda) dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd) # Normal qnorm(0.975) # Quantil (z-Wert) rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # Zufallszahlen

t.test(x, mu = 0) # t-Test / KI für mu t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int # Konfidenzintervall prop.test(k, n) # Anteilstest chisq.test(table(a, b)) # Unabhängigkeitstest