Kapitel 8 · Hypothesentests

Binomialtest & Tests via Konfidenzintervall

Der exakte Binomialtest

Geht es um einen Anteil $\pi$ (Ja/Nein-Merkmal), prüft der Binomialtest

H_0: \pi = \pi_0 \quad\text{gegen}\quad H_1: \pi \ne \pi_0

Prüfgröße ist die Erfolgszahl $k$ ; ihre Verteilung unter $H_0$ ist $\text{Bin}(n, \pi_0)$ . Der p-Wert ergibt sich direkt aus dieser Verteilung — ohne Normalapproximation. Das ist gerade bei kleinem $n$ wichtig, wo der approximative z-Anteilstest ungenau wird.

Beispiel: Eine Münze wird 10-mal geworfen, 8-mal fällt Kopf. Ist sie fair ( $\pi_0 = 0{,}5$ )? Der exakte zweiseitige p-Wert ist die Summe aller Ausgänge, die höchstens so wahrscheinlich sind wie $P(X=8)$ :

p = 2\,\big(P(X{=}8) + P(X{=}9) + P(X{=}10)\big) = 0{,}1094 > 0{,}05

Also wird $H_0$ nicht verworfen — 8 von 10 reichen als Beleg gegen Fairness nicht aus. (Im Test gegen den Kern reproduziert, identisch zu R’s binom.test.)

Testentscheidung durch Konfidenzintervalle

Test und Konfidenzintervall sind zwei Seiten derselben Medaille (Dualität): Ein zweiseitiger Test zum Niveau $\alpha$ verwirft $H_0: \theta = \theta_0$ genau dann, wenn $\theta_0$ außerhalb des $(1-\alpha)$ -Konfidenzintervalls liegt.

Das KI ist gerade die Menge aller $\theta_0$ , die man nicht verwerfen würde. Statt eine Prüfgröße mit einem kritischen Wert zu vergleichen, kann man also auch einfach prüfen, ob der hypothetische Wert im KI liegt.

Beispiel: Liegt $\mu_0 = 17$ im 95 %-KI für die Nagellänge, bleibt $H_0$ ; liegt es außerhalb, wird verworfen — dasselbe Ergebnis wie über die Prüfgröße.

Klausurnutzen: Ist ein KI bereits berechnet, spart die Dualität den separaten Test — und umgekehrt. Beide nutzen dieselben Quantile.

Abruf-Quiz

Frage 1 / 3

Wofür eignet sich der exakte Binomialtest besonders?

x <- c(3, 1, 4, 1, 5) # Vektor anlegen y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9)) # 26x 0, 9x 1 s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100) # gleichmäßige Folge 1:10 # Ganzzahlfolge length(x); sort(x); rev(x) # Länge, sortieren, umkehren x[x > 2] # logische Indizierung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)") # Säulen pie(table(x), labels = c("nein", "ja")) # Kreis hist(x) # Histogramm (Auto-Klassen) hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5), # eigene Klassen col = heat.colors(12), xlab = "kg") plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2) # Linie lines(s, cos(s)) # weitere Linie ergänzen boxplot(x) # Box-Plot

mean(x) # arithmetisches Mittel median(x) # Median quantile(x, c(.25, .5, .75)) # Quartile quantile(x, 0.9) # 90%-Quantil # Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit names(which.max(table(x)))

var(x) # Stichprobenvarianz (/ (n-1)) sd(x) # Standardabweichung IQR(x) # Interquartilsabstand range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite sd(x) / mean(x) # Variationskoeffizient

dbinom(k, size = n, prob = p) # Binomial P(X = k) pbinom(k, n, p) # P(X <= k) dpois(k, lambda); ppois(k, lambda) dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd) # Normal qnorm(0.975) # Quantil (z-Wert) rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # Zufallszahlen

t.test(x, mu = 0) # t-Test / KI für mu t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int # Konfidenzintervall prop.test(k, n) # Anteilstest chisq.test(table(a, b)) # Unabhängigkeitstest