Kapitel 3 · Bivariate deskriptive Statistik

Kovarianz & Korrelation

Vom Streudiagramm zur Kovarianz

Das Streudiagramm (Scatterplot) zeigt die Punktwolke $(x_i, y_i)$. Die Abweichungsprodukte $(x_i - \bar x)(y_i - \bar y)$ sind positiv im 1./3. Quadranten (bezogen auf den Schwerpunkt $(\bar x, \bar y)$) und negativ im 2./4. Ihre Summe, geteilt durch $n$, ist die empirische Kovarianz:

Sie ist positiv/negativ je nach Richtung — aber nicht normiert (sie hängt von den Maßeinheiten ab). Die Kovarianz mit Nenner $n-1$ heißt $s_{XY}$.

Pearson-Korrelation

Teilt man die Kovarianz durch das Produkt der Standardabweichungen, erhält man den dimensionslosen Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizienten:

Ziehe selbst Punkte und beobachte $r$, die Regressionsgerade und $R^2$ live:

Faustregel: $|r| < 0{,}5$ schwach, $0{,}5 \le |r| < 0{,}8$ mittel, $0{,}8 \le |r|$ stark.

Spearman, Ausreißer und Anscombe

$r$ misst nur lineare Zusammenhänge und reagiert empfindlich auf Ausreißer — ein einzelner Punkt kann $r$ von $\approx 0$ auf nahe $1$ ziehen. Das berühmte Anscombe-Quartett zeigt vier völlig verschiedene Punktwolken mit identischem $r = 0{,}82$. Deshalb: $r$ immer zusammen mit dem Streudiagramm interpretieren.

Für ordinale Daten oder robustere Aussagen nutzt man Spearmans $r_{SP}$ — Pearson angewandt auf die Ränge. Es erfasst monotone Zusammenhänge.

Eine zweite Rangkorrelation ist Kendalls $\tau$: Sie zählt konkordante Paare (gleiche Richtung in $x$ und $y$, $C$) gegen diskordante ($D$):

($T_x, T_y$ = nur in $x$ bzw. nur in $y$ gebundene Paare). $\tau$ ist interpretierbar als Differenz der Anteile gleich- und gegenläufiger Paare.

Korrelation ≠ Kausalität

Die wichtigste Klausur- und Lebensfalle: Korrelation misst nur einen statistischen Zusammenhang. Sie sagt nichts über Ursache und Wirkung und nicht über die Richtung ($X \leftrightarrow Y$, nicht $X \to Y$). Eine dritte Variable kann beide treiben (Scheinkorrelation).

Übungsaufgaben

drinks  <- c(1, 0, 9, 7, 4, 6, 8)
heringe <- c(1, 2, 8, 7, 3, 3, 4)
plot(drinks, heringe, main = "Streudiagramm")
cor(drinks, heringe)                       # Pearson
cor(drinks, heringe, method = "spearman")  # Spearman

[1] 0.8202869
[1] 0.9198053