Kapitel 2 · Univariate deskriptive Statistik

Häufigkeiten

Von der Urliste zur Verteilung

Ausgangspunkt ist die Messung eines Merkmals $X$ an $n$ statistischen Einheiten. Das Ergebnis der $i$ -ten Messung ist $x_i$ , die gesamte unsortierte Reihe $x_1,\dots,x_n$ heißt Urliste (oder Beobachtungsreihe, Stichprobe).

Absolute und relative Häufigkeit

Für jede mögliche Ausprägung $a_j$ aus $\{a_1,\dots,a_k\}$ :

h_j = h(a_j) = \#\{i : x_i = a_j\}, \qquad f_j = f(a_j) = \frac{h_j}{n}

Die absoluten Häufigkeiten summieren sich zur Gesamtzahl: $\sum_{j} h_j = n$ .
Die relativen Häufigkeiten summieren sich zu Eins: $\sum_{j} f_j = 1$ .

Die Auflistung der Ausprägungen mit ihren Häufigkeiten ist die Häufigkeitsverteilung — klassisch als Tabelle dargestellt.

Beispiel »Maßkrug Bier«

Urliste $1,0,3,4,4,2,0,3,0,5$ (n = 10):

Ausprägung $a_j$	0	1	2	3	4	5
$h_j$	3	1	1	2	2	1
$f_j$	0,3	0,1	0,1	0,2	0,2	0,1

Kontrolle: $\sum h_j = 10 = n$ und $\sum f_j = 1$ . ✓

Übung: Häufigkeitsverteilung in R

Die Häufigkeitsverteilung lässt sich in R mit einem einzigen Befehl (table) bestimmen. Probiere es an einem binären Merkmal:

Übungsaufgabe Allergie — Häufigkeiten & Diagramme in R leicht Übung 3, Aufgabe 2

Für das Merkmal „Allergie” mit den Ausprägungen „ja” (1) und „nein” (0) wurden bei einer Befragung folgende Daten erhoben ( $n=35$ ):

0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1

Löse in R: a) Bestimme die absolute Häufigkeitsverteilung. b) Erstelle ein Kreisdiagramm. c) Erstelle ein Säulendiagramm der relativen Häufigkeiten. Beschrifte beide Grafiken angemessen.

Rabsolute Häufigkeitrelative HäufigkeitKreisdiagrammSäulendiagrammnominales Merkmal

R R-Lösung anzeigen

Allergie <- c(0,0,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,
              0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,0,1)
table(Allergie)                       # a) absolute Häufigkeiten
pie(table(Allergie), labels = c("nein","ja"),
    main = "Allergie, n = 35")        # b) Kreisdiagramm
barplot(table(Allergie)/length(Allergie),
        names.arg = c("nein","ja"),
        main = "Allergie, n = 35",
        ylab = "rel. Häufigkeit")     # c) Säulendiagramm

Ausgabe

Allergie
 0  1
26  9

Lösung

0/5 aufgedeckt

↗ Aufgabe als Einzelseite öffnen

Nächster Schritt: Diese Verteilung lässt sich grafisch darstellen — und dabei lauert die häufigste Histogramm-Falle.

Abruf-Quiz

Frage 1 / 2

Eine Ausprägung kommt 12-mal in $n=48$ Beobachtungen vor. Wie groß ist ihre relative Häufigkeit?

x <- c(3, 1, 4, 1, 5) # Vektor anlegen y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9)) # 26x 0, 9x 1 s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100) # gleichmäßige Folge 1:10 # Ganzzahlfolge length(x); sort(x); rev(x) # Länge, sortieren, umkehren x[x > 2] # logische Indizierung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)") # Säulen pie(table(x), labels = c("nein", "ja")) # Kreis hist(x) # Histogramm (Auto-Klassen) hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5), # eigene Klassen col = heat.colors(12), xlab = "kg") plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2) # Linie lines(s, cos(s)) # weitere Linie ergänzen boxplot(x) # Box-Plot

mean(x) # arithmetisches Mittel median(x) # Median quantile(x, c(.25, .5, .75)) # Quartile quantile(x, 0.9) # 90%-Quantil # Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit names(which.max(table(x)))

var(x) # Stichprobenvarianz (/ (n-1)) sd(x) # Standardabweichung IQR(x) # Interquartilsabstand range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite sd(x) / mean(x) # Variationskoeffizient

dbinom(k, size = n, prob = p) # Binomial P(X = k) pbinom(k, n, p) # P(X <= k) dpois(k, lambda); ppois(k, lambda) dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd) # Normal qnorm(0.975) # Quantil (z-Wert) rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # Zufallszahlen

t.test(x, mu = 0) # t-Test / KI für mu t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int # Konfidenzintervall prop.test(k, n) # Anteilstest chisq.test(table(a, b)) # Unabhängigkeitstest