Kapitel 8 · Hypothesentests

Testlogik & Hypothesen

Schätzen vs. Testen

Beim Schätzen bestimmt man einen Wert; beim Testen trifft man eine Entscheidung: Trifft eine Behauptung über einen Parameter zu? Eine statistische Hypothese ist eine Behauptung über eine Eigenschaft einer Zufallsvariablen (z. B. » $\mu = 17$ cm«).

Null- und Alternativhypothese

Man stellt zwei einander ausschließende Hypothesen auf:

H_0: \theta = \theta_0 \quad\text{gegen}\quad H_1: \theta \ne \theta_0

$H_0$ (Nullhypothese): Gleichheit, kein Effekt — das, was widerlegt werden soll.
$H_1$ (Alternative): der Unterschied — das, was man zeigen möchte.

Idee: $H_0$ wird verworfen, wenn die Beobachtung unter $H_0$ sehr unwahrscheinlich ist.

Prüfgröße, Prüfverteilung, Ablehnbereich

Eine Prüfgröße verdichtet die Stichprobe zu einer Zahl, deren Verteilung unter $H_0$ bekannt sein muss (die Prüfverteilung). Beispiel Nagellänge ( $\mu_0=17$ , $\sigma=1{,}5$ , $n=10$ ):

Z = \frac{\bar X - \mu_0}{\sigma/\sqrt n} \sim N(0,1), \qquad z = \frac{17{,}6 - 17}{1{,}5/\sqrt{10}} = 1{,}26

Der kritische Wert $c$ teilt den Wertebereich in Annahme- und Ablehnbereich. Beim zweiseitigen Test zum Niveau $\alpha$ ist $c = z_{1-\alpha/2}$ ; für $\alpha=0{,}05$ also $1{,}96$ . Da $|z|=1{,}26 < 1{,}96$ , bleibt $H_0$ . (Im Test gegen den Kern reproduziert.)

Klausurfalle: Die Prüfverteilung gilt unter $H_0$ . Der Ablehnbereich wird so gewählt, dass die Wahrscheinlichkeit, irrtümlich zu verwerfen, höchstens $\alpha$ ist.

Abruf-Quiz

Frage 1 / 3

Was formuliert die Nullhypothese H₀ typischerweise?

x <- c(3, 1, 4, 1, 5) # Vektor anlegen y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9)) # 26x 0, 9x 1 s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100) # gleichmäßige Folge 1:10 # Ganzzahlfolge length(x); sort(x); rev(x) # Länge, sortieren, umkehren x[x > 2] # logische Indizierung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)") # Säulen pie(table(x), labels = c("nein", "ja")) # Kreis hist(x) # Histogramm (Auto-Klassen) hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5), # eigene Klassen col = heat.colors(12), xlab = "kg") plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2) # Linie lines(s, cos(s)) # weitere Linie ergänzen boxplot(x) # Box-Plot

mean(x) # arithmetisches Mittel median(x) # Median quantile(x, c(.25, .5, .75)) # Quartile quantile(x, 0.9) # 90%-Quantil # Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit names(which.max(table(x)))

var(x) # Stichprobenvarianz (/ (n-1)) sd(x) # Standardabweichung IQR(x) # Interquartilsabstand range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite sd(x) / mean(x) # Variationskoeffizient

dbinom(k, size = n, prob = p) # Binomial P(X = k) pbinom(k, n, p) # P(X <= k) dpois(k, lambda); ppois(k, lambda) dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd) # Normal qnorm(0.975) # Quantil (z-Wert) rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # Zufallszahlen

t.test(x, mu = 0) # t-Test / KI für mu t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int # Konfidenzintervall prop.test(k, n) # Anteilstest chisq.test(table(a, b)) # Unabhängigkeitstest