Etwa die Hälfte der Klausurpunkte wird in R gelöst. Diese Referenz folgt den Übungsblättern: pro Verfahren der passende Befehl, die erwartete Ausgabe, eine kurze Erklärung und — wo es hilft — eine Vorschau der Grafik.
Ein Vektor bündelt Werte; man rechnet elementweise und wählt per Index oder Bedingung aus.
x <- c(4, 8, 15, 16, 23, 42) # numerischer Vektor
length(x) # Anzahl Elemente
x[2] # zweites Element
x[x > 15] # logische Auswahl
seq(0, 1, by = 0.25) # Folge
rep(c(0, 1), times = 3) # Wiederholung[1] 6
[1] 8
[1] 16 23 42
[1] 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
[1] 0 1 0 1 0 1Das 1. Übungsblatt prüft Rechen- und Logik-Ausdrücke direkt in R.
factorial(5) # 5!
choose(49, 6) # Binomialkoeffizient "49 über 6"
sqrt(16) * 16^(1/4) # Wurzeln
log(exp(4)) # ln und exp[1] 120
[1] 13983816
[1] 8
[1] 4table liefert die absolute, prop.table die
relative Häufigkeitsverteilung.
allergie <- c(rep(0, 26), rep(1, 9))
table(allergie) # absolute Häufigkeiten
prop.table(table(allergie)) # relative Häufigkeitenallergie
0 1
26 9
0 1
0.7428571 0.2571429barplot (Säulen) und pie (Kreis) für
qualitative Merkmale — Achsen/Titel nicht vergessen.
barplot(table(allergie),
main = "Allergie, n = 35",
ylab = "Häufigkeit")
pie(table(allergie),
labels = c("nein", "ja"))hist bildet Klassen. Mit breaks legst du die
Grenzen fest; bei ungleichen Breiten zeigt R die
Dichte (Fläche ∝ Häufigkeit).
hist(gewicht) # Auto-Klassen (Sturges)
hist(gewicht, breaks = seq(50, 110, 5),
col = heat.colors(12),
main = "Gewicht, n = 100",
xlab = "Gewicht (kg)")Mittelwert, Median und Quantile beschreiben das Zentrum.
x <- rep(c(6, 8, 9, 10, 11), c(1, 4, 5, 8, 2))
mean(x) # arithmetisches Mittel
median(x) # Median
quantile(x, 0.25) # unteres Quartil
fivenum(x) # Fünf-Punkte-Zusammenfassung[1] 9.25
[1] 9.5
25%
8.75
[1] 6.0 8.5 9.5 10.0 11.0boxplot zeigt Median, Quartile, Whisker und Ausreißer
auf einen Blick.
var(x) # STICHPROBENvarianz (Teiler n-1)
sd(x) # Standardabweichung
IQR(x) # Interquartilsabstand
diff(range(x)) # Spannweite
boxplot(x) # Box-Plot[1] 1.460526
[1] 1.208522
[1] 1.25
[1] 5⚠ var/sd teilen durch
n−1. Empirische Varianz (Teiler n):
var(x) * (n-1)/n.
plot(..., type = "l") zeichnet Linien; lines
ergänzt weitere Kurven im selben Diagramm.
x <- seq(0, 2*pi, length.out = 100)
plot(x, sin(2*x), type = "l", col = "blue", lwd = 2)
lines(x, cos(x))Randsummen mit rowSums/colSums, Unabhängigkeit
über chisq.test.
tafel <- matrix(c(16, 40, 7, 28), nrow = 2, byrow = TRUE)
rowSums(tafel); colSums(tafel) # Randhäufigkeiten
prop.table(tafel, margin = 1) # bedingte rel. Häufigk. je Zeile
chisq.test(tafel, correct = FALSE)$statistic # Chi-Quadrat-Koeffizient[1] 56 35
[1] 23 68
X-squared
0.8378525cor für den Zusammenhang, lm für die
Kleinste-Quadrate-Gerade, abline zeichnet sie ein.
cor(x, y) # Pearson
cor(x, y, method = "spearman") # Spearman (Ränge)
modell <- lm(y ~ x) # Regression y = b0 + b1*x
coef(modell) # b0, b1
summary(modell)$r.squared # Bestimmtheitsmaß R^2
plot(x, y); abline(modell) # Streudiagramm + Gerade(Intercept) x
6.1553 -0.4498
[1] 0.448Kombinatorik mit choose/factorial,
Zufallsexperimente mit sample.
# Bayes: P(krank | positiv)
praev <- 0.01; sens <- 0.99; fpr <- 0.05
p_pos <- sens*praev + fpr*(1-praev)
sens*praev / p_pos
# Simulation: 10000 Würfe, rel. Häufigkeit "Sechs"
mean(sample(1:6, 10000, replace = TRUE) == 6)[1] 0.1666667
[1] 0.1657Schema d/p/q/r + Verteilungsname:
d… = P(X=k), p… = P(X≤k).
dbinom(2, size = 20, prob = 0.2) # Binomial P(X = 2)
pbinom(2, size = 20, prob = 0.2) # P(X <= 2)
dpois(0, lambda = 3) # Poisson P(X = 0)
dgeom(4, prob = 0.1) # geometrisch: 4 Misserfolge[1] 0.1369334
[1] 0.2060847
[1] 0.04978707
[1] 0.06561⚠ dgeom(k, p) zählt die
Misserfolge $k=x-1$ vor dem ersten Erfolg.
pnorm gibt die Fläche links, qnorm das
Quantil (z-Wert).
pnorm(75, mean = 90, sd = 10) # P(X < 75)
qnorm(0.975) # z-Quantil
pexp(100, rate = 0.01, lower.tail = FALSE) # P(X > 100) = e^-1
qt(0.975, df = 14) # t-Quantil[1] 0.0668072
[1] 1.959964
[1] 0.3678794
[1] 2.144787Direkt aus Quantil und Standardfehler oder bequem über
t.test.
# KI für mu, sigma bekannt: xbar +/- z * sigma/sqrt(n)
xbar <- 169.5; sigma <- 10; n <- 20
xbar + c(-1, 1) * qnorm(0.975) * sigma/sqrt(n)
# KI aus Daten (sigma unbekannt):
t.test(daten)$conf.int[1] 165.1174 173.8826t.test (Mittelwert), binom.test (Anteil);
den Gauß-Test rechnet man direkt mit pnorm.
t.test(daten, mu = 102) # t, df, p-Wert, KI
# manuell: t-Statistik und zweiseitiger p-Wert
t <- (104 - 102) / (5/sqrt(15))
2 * (1 - pt(abs(t), df = 14))
binom.test(8, 10, p = 0.5)$p.value # exakter Binomialtest[1] 0.1436321
[1] 0.109375Für jede Verteilung gibt es vier Funktionen mit demselben Suffix:
| Präfix | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
d | Dichte / W-Funktion f(x) | dbinom, dnorm |
p | Verteilungsfunktion F(x)=P(X≤x) | pnorm, ppois |
q | Quantil (Inverse von F) | qnorm, qt |
r | Zufallszahlen | rbinom, rnorm |
Suffixe: binom, pois, geom,
hyper, unif, exp, norm,
t, chisq, f. Für obere Schwänze
lower.tail = FALSE.
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