Kapitel 8 · Hypothesentests

Fehlerarten & Signifikanz

Zwei Arten, sich zu irren

	Entscheidung H₀	Entscheidung H₁
H₀ wahr	richtig	Fehler 1. Art (α)
H₁ wahr	Fehler 2. Art (β)	richtig

Die Gerichts-Analogie macht es greifbar ( $H_0$ : »unschuldig«):

Fehler 1. Art: ein Unschuldiger wird verurteilt.
Fehler 2. Art: ein Schuldiger wird freigesprochen.

Weil ein Justizirrtum der ersten Art schwerer wiegt, hält man $\alpha$ klein (»in dubio pro reo«).

Signifikanzniveau

Ein Signifikanztest zum Niveau $\alpha$ garantiert

P(\text{H}_1\text{ annehmen} \mid H_0 \text{ wahr}) = P(\text{Fehler 1. Art}) \le \alpha

$\alpha$ wird vorab festgelegt (0,10 / 0,05 / 0,01) — als Sicherheitsmaßnahme.

Die Gegenläufigkeit

α und β lassen sich bei festem $n$ nicht gleichzeitig minimieren. Verschiebe den kritischen Wert und beobachte den Zielkonflikt:

Nur ein größeres $n$ (oder ein größerer wahrer Effekt) schiebt die Verteilungen auseinander und senkt beide Fehler.

»Nicht signifikant« ≠ »H₀ ist wahr«

Die wichtigste Interpretationsfalle: $H_0$ nicht zu verwerfen heißt nur, dass $H_0$ richtig sein könnte — nicht, dass sie wahr ist. $H_0$ zu verwerfen ist die starke Aussage; $H_0$ beizubehalten die schwache. Abwesenheit eines Nachweises ist kein Nachweis der Abwesenheit.

Übungsaufgaben

Übungsaufgabe Fehler 1. und 2. Art einzeichnen leicht Übung 14, Aufgabe 2

In der Abbildung sind für den Test $H_0:\theta\le\theta_0$ gegen $H_1:\theta>\theta_0$ die Verteilungen unter $H_0$ und $H_1$ sowie der kritische Wert $c$ dargestellt. Zeichne die Wahrscheinlichkeiten für die Fehler 1. und 2. Art ein und erkläre, wo sie jeweils als Fläche liegen.

Fehler 1. ArtFehler 2. Artkritischer WertSignifikanzniveauTeststärke

Lösung

0/5 aufgedeckt

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Abruf-Quiz

Frage 1 / 3

Der Fehler 1. Art (α-Fehler) bedeutet …

x <- c(3, 1, 4, 1, 5) # Vektor anlegen y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9)) # 26x 0, 9x 1 s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100) # gleichmäßige Folge 1:10 # Ganzzahlfolge length(x); sort(x); rev(x) # Länge, sortieren, umkehren x[x > 2] # logische Indizierung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)") # Säulen pie(table(x), labels = c("nein", "ja")) # Kreis hist(x) # Histogramm (Auto-Klassen) hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5), # eigene Klassen col = heat.colors(12), xlab = "kg") plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2) # Linie lines(s, cos(s)) # weitere Linie ergänzen boxplot(x) # Box-Plot

mean(x) # arithmetisches Mittel median(x) # Median quantile(x, c(.25, .5, .75)) # Quartile quantile(x, 0.9) # 90%-Quantil # Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit names(which.max(table(x)))

var(x) # Stichprobenvarianz (/ (n-1)) sd(x) # Standardabweichung IQR(x) # Interquartilsabstand range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite sd(x) / mean(x) # Variationskoeffizient

dbinom(k, size = n, prob = p) # Binomial P(X = k) pbinom(k, n, p) # P(X <= k) dpois(k, lambda); ppois(k, lambda) dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd) # Normal qnorm(0.975) # Quantil (z-Wert) rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # Zufallszahlen

t.test(x, mu = 0) # t-Test / KI für mu t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int # Konfidenzintervall prop.test(k, n) # Anteilstest chisq.test(table(a, b)) # Unabhängigkeitstest