Kapitel 7 · Schätzverfahren

Konfidenzintervalle

Punktschätzung plus Unsicherheit

Eine Punktschätzung schwankt von Stichprobe zu Stichprobe. Ein $(1-\alpha)$-Konfidenzintervall ist ein zufälliges Intervall, das den festen, unbekannten Parameter mit Wahrscheinlichkeit $1-\alpha$ überdeckt. $\alpha$ heißt Irrtumswahrscheinlichkeit (üblich 0,10 / 0,05 / 0,01).

Was »95 %« wirklich heißt

Stelle das Konfidenzniveau und $n$ ein und ziehe viele Stichproben — etwa 95 % der Intervalle treffen das feste $\mu$:

Das wahre $\mu$ ist fest, das Intervall ist zufällig. „95 %“ bezieht sich auf das Verfahren über viele Stichproben — nicht auf ein einzelnes, bereits berechnetes Intervall.

Fall 1: σ bekannt (z-Intervall)

Bei normalverteiltem $X$ mit bekanntem $\sigma$:

Beispiel: $\bar x = 169{,}5$, $\sigma = 10$, $n = 20$, 95 % → $169{,}5 \pm 1{,}96\cdot\frac{10}{\sqrt{20}} = 169{,}5 \pm 4{,}38 = [165{,}1;\,173{,}9]$.

Fall 2: σ unbekannt (t-Intervall)

Wird $\sigma$ durch $s$ geschätzt, tritt die t-Verteilung mit $n-1$ Freiheitsgraden an die Stelle der Normalverteilung:

Beispiel: $\bar x = 183{,}0$, $s = 7{,}7$, $n = 21$, 95 → $183{,}0 \pm t_{20;\,0{,}975}\cdot\frac{7{,}7}{\sqrt{21}} = 183{,}0 \pm 2{,}086\cdot1{,}68 = [179{,}5;\,186{,}5]$.

(Beide Intervalle im Test gegen den Kern reproduziert.)

Breite und Sonderfall n > 30

Drei Stellschrauben bestimmen die Breite:

• Niveau $1-\alpha$ ↑ → Intervall breiter
• Streuung $\sigma$ ↑ → breiter
• Stichprobenumfang $n$ ↑ → schmaler (Breite $\propto 1/\sqrt n$)

Für $n > 30$ darf man auch bei unbekanntem $\sigma$ mit dem $z$-Quantil rechnen ($t \approx z$, Normalapproximation).

Klausurfalle: Erst die Fallfrage klären — $\sigma$ bekannt → z, $\sigma$ unbekannt → t (df $= n-1$). Und die „95 %“ nie auf das eine berechnete Intervall beziehen.

Übungsaufgaben

x <- c(175, 175, 178, 177, 178, 174, 176, 177, 172, 174)
n <- length(x); xbar <- mean(x)
# b) sigma bekannt = 2
xbar + c(-1, 1) * qnorm(0.975) * 2 / sqrt(n)   # 95%
xbar + c(-1, 1) * qnorm(0.995) * 2 / sqrt(n)   # 99%
# c) sigma unbekannt -> t.test
t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int
t.test(x, conf.level = 0.99)$conf.int

[1] 174.36 176.84
[1] 174.97 ... # (Werte gerundet)
[1] 174.20 177.00
[1] 173.55 177.65

xbar <- 169.5; sigma <- 10; n <- 20
z <- qnorm(0.975)                 # 1.959964
fehler <- z * sigma / sqrt(n)
c(unten = xbar - fehler, oben = xbar + fehler)

unten      oben
165.1174   173.8826

KI.sigma <- function(x, level = 0.95){
  n <- length(x)
  S <- sd(x)
  alpha <- 1 - level
  lower <- sqrt((n - 1) / qchisq(1 - alpha/2, n - 1)) * S
  upper <- sqrt((n - 1) / qchisq(alpha/2,     n - 1)) * S
  c(lower = lower, upper = upper)
}
daten <- c(190, 170, 194, 183, 184, 194, 185, 180, 186, 178)
KI.sigma(daten, level = 0.95)

lower    upper
5.74    15.21
# (Werte je nach Testdaten)