Kapitel 7 · Schätzverfahren

Abfüllgewicht — Konfidenzintervall (σ bekannt & unbekannt)

schwer Übung 12, Aufgabe 1 PunktschätzungKonfidenzintervallz-Quantilt-VerteilungStandardfehler

Aus einer Stichprobe von $n=10$ Behältern wurden folgende Abfüllgewichte (in g) ermittelt:

175, 175, 178, 177, 178, 174, 176, 177, 172, 174

a) Bestimme einen Schätzwert für den Erwartungswert $\mu$ . b) Bestimme bei bekanntem $\sigma=2$ g je ein Konfidenzintervall zum Niveau 95 % und 99 % und interpretiere. c) Wie ändert sich die Rechnung, wenn $\sigma$ unbekannt ist? Bestimme auch hier die 95 %- und 99 %-Intervalle.

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x <- c(175, 175, 178, 177, 178, 174, 176, 177, 172, 174)
n <- length(x); xbar <- mean(x)
# b) sigma bekannt = 2
xbar + c(-1, 1) * qnorm(0.975) * 2 / sqrt(n)   # 95%
xbar + c(-1, 1) * qnorm(0.995) * 2 / sqrt(n)   # 99%
# c) sigma unbekannt -> t.test
t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int
t.test(x, conf.level = 0.99)$conf.int

Ausgabe

[1] 174.36 176.84
[1] 174.97 ... # (Werte gerundet)
[1] 174.20 177.00
[1] 173.55 177.65

Lösung

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x <- c(3, 1, 4, 1, 5) # Vektor anlegen y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9)) # 26x 0, 9x 1 s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100) # gleichmäßige Folge 1:10 # Ganzzahlfolge length(x); sort(x); rev(x) # Länge, sortieren, umkehren x[x > 2] # logische Indizierung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)") # Säulen pie(table(x), labels = c("nein", "ja")) # Kreis hist(x) # Histogramm (Auto-Klassen) hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5), # eigene Klassen col = heat.colors(12), xlab = "kg") plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2) # Linie lines(s, cos(s)) # weitere Linie ergänzen boxplot(x) # Box-Plot

mean(x) # arithmetisches Mittel median(x) # Median quantile(x, c(.25, .5, .75)) # Quartile quantile(x, 0.9) # 90%-Quantil # Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit names(which.max(table(x)))

var(x) # Stichprobenvarianz (/ (n-1)) sd(x) # Standardabweichung IQR(x) # Interquartilsabstand range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite sd(x) / mean(x) # Variationskoeffizient

dbinom(k, size = n, prob = p) # Binomial P(X = k) pbinom(k, n, p) # P(X <= k) dpois(k, lambda); ppois(k, lambda) dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd) # Normal qnorm(0.975) # Quantil (z-Wert) rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # Zufallszahlen

t.test(x, mu = 0) # t-Test / KI für mu t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int # Konfidenzintervall prop.test(k, n) # Anteilstest chisq.test(table(a, b)) # Unabhängigkeitstest