Statistik

Kapitel 1 · Einführung und Grundlagen

Merkmale & Skalenniveaus

📄 Folien:alle Materialien →

Drei unabhängige Klassifikationen

Merkmale lassen sich nach drei unabhängigen Kriterien einordnen (K01 S.19, S.28):

  1. Zählbarkeit/Messbarkeit → qualitativ vs. quantitativ
  2. Anzahl der Ausprägungen → diskret vs. stetig
  3. Skala → Nominal-, Ordinal-, Intervall-, Verhältnisskala

Qualitativ vs. quantitativ

  • Qualitativ: Ausprägungen sind Namen/Kategorien (Nationalität, Baumart).
  • Quantitativ: zählbar/messbar, durch Zahlen erfasst (Alter, Miete).

Diskret vs. stetig

  • Diskret: endlich oder abzählbar unendlich viele Ausprägungen (Geschlecht, Zimmerzahl, Jahresringe).
  • Stetig: alle Werte eines Intervalls möglich (Körpertemperatur, Länge).

Die vier Skalenniveaus

Das Skalenniveau ist kein Formalismus, sondern entscheidet, welche Verfahren sachgerecht sind. Es baut stufenweise auf — jede Stufe fügt Information hinzu:

Nominal  ⊂  Ordinal  ⊂  Intervall  ⊂  Verha¨ltnis\text{Nominal} \;\subset\; \text{Ordinal} \;\subset\; \text{Intervall} \;\subset\; \text{Verhältnis}

Wähle ein Niveau und sieh, welche Relationen, Operationen und Maße erlaubt sind:

Informationsgehalt: Verschiedenheit

Sinnvolle Relationen

  • = , ≠

Erlaubte Operationen

  • Häufigkeiten zählen

Zulässige Maße

  • Modus

Beispiele

  • Nationalität
  • Geschlecht
  • Religion
  • Baumart

Information nimmt zu → Ein höheres Niveau lässt sich stets auf ein niedrigeres reduzieren, nie umgekehrt.

Warum das Niveau zählt

Je höher das Skalenniveau, desto …

  • feiner und objektiver die Ermittlung der Ausprägungen,
  • höher der Informationsgehalt,
  • größer das Analysepotential — aber auch empfindlicher gegenüber Mess- und Beobachtungsfehlern.

Es gilt: Ein höheres Niveau lässt sich stets auf ein niedrigeres reduzieren (z. B. metrische Werte klassieren), nie umgekehrt. Strebe bei Erhebungen daher ein möglichst hohes Niveau an.

Klausurfalle: Das arithmetische Mittel von Schulnoten ist streng genommen unzulässig (ordinal!) — auch wenn es ständig gerechnet wird. Achte in Aufgaben darauf, welches Maß das Skalenniveau wirklich hergibt.

Übungsaufgaben

Übungsaufgabe Mobilitätsmanagement — Grundbegriffe & Skalenniveaus leicht Übung 1, Aufgabe 1

Eine Hochschule befragt 300 zufällig ausgewählte Studierende zu:

  • Eigenes Auto vorhanden? (ja/nein)
  • Entfernung zwischen Wohnung und Hochschule
  • überwiegend genutztes Beförderungsmittel
  • Einschätzung der persönlichen Beförderungssituation (1 = sehr gut, …, 5 = sehr schlecht)

a) Ordne — falls möglich — Grundgesamtheit, statistische Einheit, Stichprobe, Merkmal und Ausprägung zu.

b) Welche Merkmale sind qualitativ/quantitativ, diskret/stetig, und welches Skalenniveau haben sie?

GrundbegriffeSkalenniveauMerkmalstypen

Lösung

0/7 aufgedeckt

↗ Aufgabe als Einzelseite öffnen

Übungsaufgabe R-Basics — Rechnen, Logik & mathematische Funktionen leicht Übung 1, Aufgaben 2 & 3

Prüfe bzw. berechne die folgenden Ausdrücke in R (eigenes R-Skript). 2a) 5!=1205!=120. 2b) (496)=13 983 816\binom{49}{6}=13\,983\,816. 2c) ∣2cos⁡(π)∣>1|2\cos(\pi)|>1. 2d) TRUE∧(2≥0)\text{TRUE}\wedge(2\ge0). 3a) arccos⁡ ⁣(14e)\arccos\!\big(\tfrac{1}{4e}\big). 3b) 16⋅164\sqrt{16}\cdot\sqrt[4]{16}. 3c) ln⁡(e4)+log⁡10(0,1)+log⁡3(81)\ln(e^4)+\log_{10}(0{,}1)+\log_3(81). 3d) sin⁡(1/∞)\sin(1/\infty).

RFakultätBinomialkoeffizientLogikLogarithmustrigonometrische Funktionen
R R-Lösung anzeigen
R
factorial(5)                      # 5! = 120
choose(49, 6)                     # Binomialkoeffizient
abs(2 * cos(pi)) > 1              # TRUE
TRUE & (2 >= 0)                   # TRUE
sqrt(16) * 16^(1/4)              # 8
log(exp(4)) + log10(0.1) + log(81, base = 3)   # 7
sin(1 / Inf)                      # 0
Ausgabe
[1] 120
[1] 13983816
[1] TRUE
[1] TRUE
[1] 8
[1] 7
[1] 0

Lösung

0/5 aufgedeckt

↗ Aufgabe als Einzelseite öffnen

Quellen:K01 S.20, K01 S.21, K01 S.22, K01 S.23, K01 S.24, K01 S.25, K01 S.27, K01 S.28

Abruf-Quiz

Frage 1 / 4

Temperatur in Grad Celsius hat welches Skalenniveau?