Kapitel 2 · Univariate deskriptive Statistik

Kumulierte Häufigkeiten

Kumulieren setzt Ordnung voraus

Bei mindestens ordinalskalierten Merkmalen lassen sich die geordneten Ausprägungen $a_1 < \dots < a_k$ sinnvoll aufsummieren. Die kumulierten Häufigkeiten beantworten: „Welcher Anteil der Daten ist $\le x$ ?“

H(x) = \sum_{i\,:\,a_i \le x} h_i, \qquad F(x) = \sum_{i\,:\,a_i \le x} f_i

$F$ heißt empirische Verteilungsfunktion (»empirisch« = aus konkreten Daten berechnet, im Unterschied zur Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen).

Eigenschaften

$H$ und $F$ sind monoton wachsende Treppenfunktionen, die an den Ausprägungen um $h_i$ bzw. $f_i$ nach oben springen. An den Sprungstellen gilt der obere Wert (Treppenkante). Außerdem:

F(x) = 0 \;\text{ für } x < a_1, \qquad F(x) = 1 \;\text{ für } x \ge a_k .

Die Quantile (nächster Abschnitt) sind gerade die Umkehrung dieser Funktion.

Beispiel »Maßkrug Bier«

$x$	0	1	2	3	4	5
$H(x)$	3	4	5	7	9	10
$F(x)$	0,3	0,4	0,5	0,7	0,9	1,0

Ablesebeispiel: $F(2) = 0{,}5$ — die Hälfte der Absolventen trank höchstens 2 Maß.

Übung: Verteilungsfunktion aufstellen und ablesen

Die folgende Aufgabe führt von der Häufigkeitstabelle über die empirische Verteilungsfunktion bis zu den Lagemaßen (nächster Abschnitt) — ein typischer Klausurablauf:

Übungsaufgabe Studiendauer — Verteilungsfunktion & Lagemaße mittel Übung 3, Aufgabe 1

Jim Beam notiert die Anzahl der Semester, die seine Kommilitonen bis zum Studienabschluss benötigt haben:

Anzahl Semester $a_j$	6	7	8	9	10	11
absolute Häufigkeit $h(a_j)$	1	0	4	5	8	2

a) Wie lauten die Rohdaten? b) Bestimme und zeichne die empirische Verteilungsfunktion. c) Welcher Anteil benötigte (i) höchstens 7, (ii) höchstens 9, (iii) mindestens 9 Semester? d) Bestimme Modus, Median und arithmetisches Mittel.

empirische VerteilungsfunktionModusMedianarithmetisches Mittel

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semester <- rep(c(6, 8, 9, 10, 11), times = c(1, 4, 5, 8, 2))
table(semester)            # Häufigkeiten
mean(semester)             # arithmetisches Mittel
median(semester)           # Median
quantile(semester, 0.5)    # Median als 50%-Quantil

Ausgabe

semester
 6  8  9 10 11
 1  4  5  8  2
[1] 9.25
[1] 9.5

Lösung

0/6 aufgedeckt

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Abruf-Quiz

Frage 1 / 2

Maßkrug Bier $1,0,3,4,4,2,0,3,0,5$ : Welcher Wert hat die empirische Verteilungsfunktion $F(2)$ ? (Anteil der Werte $\le 2$ )

x <- c(3, 1, 4, 1, 5) # Vektor anlegen y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9)) # 26x 0, 9x 1 s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100) # gleichmäßige Folge 1:10 # Ganzzahlfolge length(x); sort(x); rev(x) # Länge, sortieren, umkehren x[x > 2] # logische Indizierung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)") # Säulen pie(table(x), labels = c("nein", "ja")) # Kreis hist(x) # Histogramm (Auto-Klassen) hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5), # eigene Klassen col = heat.colors(12), xlab = "kg") plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2) # Linie lines(s, cos(s)) # weitere Linie ergänzen boxplot(x) # Box-Plot

mean(x) # arithmetisches Mittel median(x) # Median quantile(x, c(.25, .5, .75)) # Quartile quantile(x, 0.9) # 90%-Quantil # Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit names(which.max(table(x)))

var(x) # Stichprobenvarianz (/ (n-1)) sd(x) # Standardabweichung IQR(x) # Interquartilsabstand range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite sd(x) / mean(x) # Variationskoeffizient

dbinom(k, size = n, prob = p) # Binomial P(X = k) pbinom(k, n, p) # P(X <= k) dpois(k, lambda); ppois(k, lambda) dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd) # Normal qnorm(0.975) # Quantil (z-Wert) rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # Zufallszahlen

t.test(x, mu = 0) # t-Test / KI für mu t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int # Konfidenzintervall prop.test(k, n) # Anteilstest chisq.test(table(a, b)) # Unabhängigkeitstest