Kapitel 7 · Schätzverfahren

Induktive Statistik & Zufallsstichproben

Drei Sichtweisen auf Statistik

	Grundlage	Verallgemeinerung?
Deskriptiv	Daten	nein
Wahrscheinlichkeit	math. Modelle (keine Daten)	—
Induktiv	Stichprobe + Wahrscheinlichkeit	ja, mit Unsicherheit

Die induktive (schließende) Statistik zieht aus einer Stichprobe Schlüsse über die Grundgesamtheit. Ihre zwei Werkzeuge: Schätzen (einen Parameter mit angebbarer Ungenauigkeit bestimmen) und Testen (eine Hypothese mit angebbarer Unsicherheit verwerfen).

Merkmale als Zufallsvariablen

Das untersuchte Merkmal $X$ wird als Zufallsvariable aufgefasst. Die wiederholte Beobachtung modelliert man durch Stichprobenvariablen $X_1,\dots,X_n$ , die

dieselbe Verteilung wie $X$ haben und
unabhängig sind (kurz: i.i.d.).

Die konkreten Messwerte $x_1,\dots,x_n$ sind ihre Realisierungen.

Zufallsstichproben

Induktive Verfahren setzen Zufallsstichproben voraus — sonst sind die Schlüsse verzerrt. Bei einer einfachen Zufallsstichprobe hat jedes Element dieselbe bekannte Auswahlwahrscheinlichkeit. Weitere Verfahren:

Geschichtete Stichprobe: Grundgesamtheit in homogene Schichten zerlegen, je Schicht zufällig ziehen (z. B. nach Alter).
Klumpenstichprobe: natürliche Gruppen (Klumpen) zufällig auswählen (z. B. ganze Schulklassen).

Klausurfalle: Ohne Zufallsauswahl keine gültige Induktion. Eine große, aber verzerrte Stichprobe ist schlechter als eine kleine Zufallsstichprobe.

Abruf-Quiz

Frage 1 / 2

Was ist das Ziel der induktiven Statistik?

x <- c(3, 1, 4, 1, 5) # Vektor anlegen y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9)) # 26x 0, 9x 1 s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100) # gleichmäßige Folge 1:10 # Ganzzahlfolge length(x); sort(x); rev(x) # Länge, sortieren, umkehren x[x > 2] # logische Indizierung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)") # Säulen pie(table(x), labels = c("nein", "ja")) # Kreis hist(x) # Histogramm (Auto-Klassen) hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5), # eigene Klassen col = heat.colors(12), xlab = "kg") plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2) # Linie lines(s, cos(s)) # weitere Linie ergänzen boxplot(x) # Box-Plot

mean(x) # arithmetisches Mittel median(x) # Median quantile(x, c(.25, .5, .75)) # Quartile quantile(x, 0.9) # 90%-Quantil # Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit names(which.max(table(x)))

var(x) # Stichprobenvarianz (/ (n-1)) sd(x) # Standardabweichung IQR(x) # Interquartilsabstand range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite sd(x) / mean(x) # Variationskoeffizient

dbinom(k, size = n, prob = p) # Binomial P(X = k) pbinom(k, n, p) # P(X <= k) dpois(k, lambda); ppois(k, lambda) dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd) # Normal qnorm(0.975) # Quantil (z-Wert) rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # Zufallszahlen

t.test(x, mu = 0) # t-Test / KI für mu t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int # Konfidenzintervall prop.test(k, n) # Anteilstest chisq.test(table(a, b)) # Unabhängigkeitstest