Kapitel 5 · Diskrete Zufallsvariablen und Verteilungen

Binomial- & Poisson-Verteilung

Binomialverteilung

Wiederholt man einen Bernoulli-Versuch $n$-mal unabhängig, ist die Anzahl der Erfolge $X$ binomialverteilt mit Parametern $n$ und $\pi$ (Träger $\{0,1,\dots,n\}$):

Form: für $\pi < 0{,}5$ linkssteil, für $\pi = 0{,}5$ symmetrisch, für $\pi > 0{,}5$ rechtssteil. Das Galtonbrett veranschaulicht sie mechanisch: jedes Hindernis ist ein Bernoulli-Versuch (links/rechts), die Fächer füllen sich binomial. Lass Kugeln fallen und beobachte, wie sich das Histogramm der theoretischen Verteilung (rote Kurve) annähert:

Beispiel (Übung 9): 20 Single-Choice-Fragen, 5 Optionen, geraten → $X\sim\text{Bin}(20;\,0{,}2)$. Dann $P(X=0)=0{,}8^{20}\approx0{,}0115$, $E(X)=4$, und Bestehen ($\ge 10$ richtig) hat $P(X\ge10)\approx0{,}0026$. (Im Test reproduziert.)

Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung modelliert die Anzahl seltener Ereignisse in einem festen Intervall (z. B. Schadensmeldungen pro Tag):

Sie ist der Grenzfall der Binomialverteilung für großes $n$ und kleines $\pi$ mit $\lambda = n\pi$.

Verteilungen erkunden

Schalte zwischen Binomial, Poisson und geometrisch um, verstelle die Parameter und beobachte Form, Erwartungswert und kumulierte Wahrscheinlichkeit:

Klausurfalle: Binomial braucht festes $n$ und zählt Erfolge; Poisson hat keinen oberen Rand und nur $\lambda$. Verwende Poisson als Näherung der Binomialverteilung nur bei großem $n$ und kleinem $\pi$.

Übungsaufgaben

dbinom(0, size = 20, prob = 0.2)        # P(X = 0)
dbinom(1, size = 20, prob = 0.2)        # P(X = 1)
pbinom(2, size = 20, prob = 0.2)        # P(X <= 2)
20 * 0.2                                # E(X) = n*pi
1 - pbinom(9, size = 20, prob = 0.2)    # P(X >= 10)

[1] 0.01152922
[1] 0.05764608
[1] 0.2060847
[1] 4
[1] 0.002594827