Kapitel 6 · Stetige Zufallsvariablen und Verteilungen

Stetige Zufallsvariablen & Dichte

Was ist eine Dichte?

Eine Zufallsvariable $X$ heißt stetig, wenn es eine Funktion $f(x)\ge 0$ gibt mit

P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx

$f$ heißt Wahrscheinlichkeitsdichte. Entscheidend: Nicht der Funktionswert, sondern die Fläche unter $f$ ist eine Wahrscheinlichkeit. Daraus folgt die Normierung:

\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1

Punkte haben Wahrscheinlichkeit null

Eine Besonderheit stetiger Zufallsvariablen:

P(X = x) = 0 \quad\text{für jedes } x \in \mathbb{R}

Eine Fläche der Breite 0 hat keinen Inhalt. Deshalb sind die Intervallgrenzen egal:

P(a \le X \le b) = P(a < X < b)

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist das Integral der Dichte:

F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt

Sie ist stetig und monoton wachsend von 0 auf 1. Umgekehrt ist die Dichte die Ableitung: $f(x) = F'(x)$ . Für Intervalle gilt

P(a \le X \le b) = F(b) - F(a), \qquad P(X > a) = 1 - F(a).

Klausurfalle: Bei diskreten ZV ist $F$ eine Treppenfunktion, bei stetigen eine glatte Kurve. Und $P(X=x)=0$ gilt nur im stetigen Fall.

Übungsaufgaben

Übungsaufgabe Von der Dichte zur Verteilungsfunktion (Skizzieren) mittel Übung 10, Aufgabe 1

Skizziere zu den abgebildeten Dichtefunktionen $f$ jeweils die zugehörige Verteilungsfunktion

F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt .

Die Dichten haben drei typische Formen (konstant, ansteigend, abfallend bzw. dreieckig). Nutze die Beziehung „Fläche unter $f$ = Höhe von $F$ ” und die Randbedingungen $F=0$ links, $F=1$ rechts.

DichtefunktionVerteilungsfunktionIntegralstetige Zufallsvariable

Lösung

0/6 aufgedeckt

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Übungsaufgabe Wahrscheinlichkeiten aus einer Dichte ablesen leicht Übung 10, Aufgabe 2

Die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariable $X$ ist symmetrisch um $x=3$ und auf dem Bereich $[0,6]$ definiert (Gesamtfläche 1). Bestimme — möglichst durch „Anschauen” — die folgenden Größen:

a) $P(X\le 3)$ b) $P(X<3)$ c) $P(0<X\le 3)$ d) $P(X>3)$ e) $P(1<X\le 7)$ f) $P(X=3)$ g) $F(3)$ h) $E(X)$ .

DichtefunktionWahrscheinlichkeit als Flächesymmetrische VerteilungErwartungswert

Lösung

0/7 aufgedeckt

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Abruf-Quiz

Frage 1 / 3

Für eine stetige Zufallsvariable X gilt P(X = x) = …

x <- c(3, 1, 4, 1, 5) # Vektor anlegen y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9)) # 26x 0, 9x 1 s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100) # gleichmäßige Folge 1:10 # Ganzzahlfolge length(x); sort(x); rev(x) # Länge, sortieren, umkehren x[x > 2] # logische Indizierung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)") # Säulen pie(table(x), labels = c("nein", "ja")) # Kreis hist(x) # Histogramm (Auto-Klassen) hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5), # eigene Klassen col = heat.colors(12), xlab = "kg") plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2) # Linie lines(s, cos(s)) # weitere Linie ergänzen boxplot(x) # Box-Plot

mean(x) # arithmetisches Mittel median(x) # Median quantile(x, c(.25, .5, .75)) # Quartile quantile(x, 0.9) # 90%-Quantil # Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit names(which.max(table(x)))

var(x) # Stichprobenvarianz (/ (n-1)) sd(x) # Standardabweichung IQR(x) # Interquartilsabstand range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite sd(x) / mean(x) # Variationskoeffizient

dbinom(k, size = n, prob = p) # Binomial P(X = k) pbinom(k, n, p) # P(X <= k) dpois(k, lambda); ppois(k, lambda) dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd) # Normal qnorm(0.975) # Quantil (z-Wert) rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # Zufallszahlen

t.test(x, mu = 0) # t-Test / KI für mu t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int # Konfidenzintervall prop.test(k, n) # Anteilstest chisq.test(table(a, b)) # Unabhängigkeitstest