Kapitel 7 · Schätzverfahren

Schätzfunktionen & Güte

Punkt- und Intervallschätzung

Schätzen heißt, Werte für unbekannte Parameter der Grundgesamtheit aus einer Stichprobe zu bestimmen.

Punktschätzung: ein einzelner Wert (z. B. $\bar x = 183{,}0$ cm).
Intervallschätzung: ein ganzer Vertrauensbereich (nächster Abschnitt).

Die universellen Schätzfunktionen

Eine Schätzfunktion ist eine Formel in den Stichprobenvariablen — und damit selbst eine Zufallsvariable. Die drei wichtigsten gelten unabhängig von der zugrunde liegenden Verteilung (für i.i.d.-Stichproben):

\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i, \qquad S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2, \qquad S = \sqrt{S^2}

für $\mu$ , $\sigma^2$ bzw. $\sigma$ . Ein Schätzwert ist der konkrete Wert bei gegebener Stichprobe.

Gütekriterien

Kriterium	Bedeutung
Erwartungstreue	$E(\hat\theta) = \theta$ — kein systematischer Fehler
Konsistenz	wird mit wachsendem $n$ immer genauer
Effizienz	kleine Streuung, schon bei kleinem $n$ brauchbar
Suffizienz	nutzt die gesamte Information der Stichprobe

Genau hier liegt der tiefere Grund für das $n-1$ aus Kapitel 2: Die Teilung durch $n-1$ macht $S^2$ erwartungstreu ( $E(S^2)=\sigma^2$ ); mit $n$ würde man $\sigma^2$ im Mittel unterschätzen.

Klausurfalle: Erwartungstreue (im Mittel richtig) ≠ Konsistenz (mit mehr Daten besser). Eine Schätzung kann konsistent, aber für kleine $n$ verzerrt sein — und umgekehrt.

Übungsaufgaben

Übungsaufgabe Verteilung anpassen — Histogramm & Dichten in R mittel Übung 13, Aufgabe 2

Gegeben ist eine Stichprobe mit $n=40$ Beobachtungen (siehe R-Code). Löse in R: a) Stelle die Stichprobe in einem Histogramm mit Fläche 1 dar — wie könnte die zugehörige stetige Zufallsvariable verteilt sein? b) Schätze die Parameter einer (i) Normal-, (ii) Exponential- und (iii) χ²-Verteilung. c) Füge die angepassten Dichten in verschiedenen Farben hinzu. d) Welches Modell beschreibt die Daten am besten?

RParameterschätzungDichteanpassungHistogramm (Fläche 1)Modellwahl

R R-Lösung anzeigen

x <- c(0.2,0.6,2.9,0.7,1.1,0.1,0.2,0.1,0.1,0.0,0.2,0.8,0.2,0.0,1.2,2.4,
       0.1,0.3,0.4,0.7,0.6,0.6,0.3,0.5,0.2,0.2,2.5,0.5,0.1,0.7,1.3,0.1,
       0.2,0.7,2.0,1.1,0.5,0.6,2.4,0.3)
hist(x, freq = FALSE, main = "Anpassung", xlab = "x")
curve(dnorm(x, mean(x), sd(x)), add = TRUE, col = "blue")
curve(dexp(x, rate = 1/mean(x)), add = TRUE, col = "red")
curve(dchisq(x, df = round(mean(x))), add = TRUE, col = "darkgreen")

Ausgabe

# rechtsschief -> Exponential (rot) passt am besten

Lösung

0/6 aufgedeckt

↗ Aufgabe als Einzelseite öffnen

Abruf-Quiz

Frage 1 / 3

Welche Eigenschaft bedeutet, dass der Erwartungswert der Schätzfunktion gleich dem wahren Parameter ist?

x <- c(3, 1, 4, 1, 5) # Vektor anlegen y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9)) # 26x 0, 9x 1 s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100) # gleichmäßige Folge 1:10 # Ganzzahlfolge length(x); sort(x); rev(x) # Länge, sortieren, umkehren x[x > 2] # logische Indizierung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)") # Säulen pie(table(x), labels = c("nein", "ja")) # Kreis hist(x) # Histogramm (Auto-Klassen) hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5), # eigene Klassen col = heat.colors(12), xlab = "kg") plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2) # Linie lines(s, cos(s)) # weitere Linie ergänzen boxplot(x) # Box-Plot

mean(x) # arithmetisches Mittel median(x) # Median quantile(x, c(.25, .5, .75)) # Quartile quantile(x, 0.9) # 90%-Quantil # Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit names(which.max(table(x)))

var(x) # Stichprobenvarianz (/ (n-1)) sd(x) # Standardabweichung IQR(x) # Interquartilsabstand range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite sd(x) / mean(x) # Variationskoeffizient

dbinom(k, size = n, prob = p) # Binomial P(X = k) pbinom(k, n, p) # P(X <= k) dpois(k, lambda); ppois(k, lambda) dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd) # Normal qnorm(0.975) # Quantil (z-Wert) rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # Zufallszahlen

t.test(x, mu = 0) # t-Test / KI für mu t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int # Konfidenzintervall prop.test(k, n) # Anteilstest chisq.test(table(a, b)) # Unabhängigkeitstest