Kapitel 6 · Stetige Zufallsvariablen und Verteilungen

Normalverteilung

Die wichtigste Verteilung

Summen vieler unabhängiger, gleichgroßer Zufallseinflüsse sind annähernd normalverteilt (Gauß-Verteilung) — daher modelliert sie Messfehler, Körpergrößen, Produktionsabweichungen u. v. m.:

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}, \qquad E(X) = \mu, \quad \operatorname{Var}(X) = \sigma^2

$\mu$ verschiebt die Glockenkurve, $\sigma$ bestimmt ihre Breite (Wendepunkte bei $\mu \pm \sigma$ ). Verschiebe Parameter und Grenzen:

Standardisierung

Es gibt unendlich viele Normalverteilungen, deren Integral sich nicht geschlossen berechnen lässt. Der Trick: standardisieren auf $N(0,1)$ .

Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1), \qquad F(x) = \Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)

Damit reicht eine Tabelle — die der Standardnormalverteilung $\Phi$ .

Mit der z-Tabelle rechnen

Beispiel Nüchternblutzucker $X \sim N(90, 10)$ :

P(X < 75) = \Phi\!\left(\frac{75-90}{10}\right) = \Phi(-1{,}5) = 1 - \Phi(1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668

P(85 < X < 105) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-0{,}5) = 0{,}9332 - 0{,}3085 = 0{,}6247

Wegen der Symmetrie gilt $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ . (Im Test reproduziert.)

σ-Regeln und wichtige Quantile

Intervall	Anteil
$\mu \pm \sigma$	≈ 68,3 %
$\mu \pm 2\sigma$	≈ 95,4 %
$\mu \pm 3\sigma$	≈ 99,7 %

Häufig gebrauchte Quantile: $z_{0{,}90}=1{,}28$ , $z_{0{,}95}=1{,}64$ , $z_{0{,}975}=1{,}96$ , $z_{0{,}99}=2{,}33$ . Für $N(\mu,\sigma)$ gilt $x_p = \mu + z_p\cdot\sigma$ .

Klausurfalle: Vor dem Tabellennachschlagen standardisieren ( $z=(x-\mu)/\sigma$ ). Für negative $z$ die Symmetrie $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$ nutzen — die Tabelle listet nur $z \ge 0$ .

Übungsaufgaben

Übungsaufgabe Schraubenlänge — Normalverteilung & z-Standardisierung mittel Übung 11, Aufgabe 1

Die Schraubenlänge $X$ (in mm) einer Sorte ist normalverteilt mit $\mu=30$ mm und $\sigma=0{,}2$ mm.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Länge (i) größer als 30,27 mm, (ii) kleiner als 29,86 mm, (iii) zwischen 29,86 mm und 30,27 mm ist. c) Bestimme das zentrale Schwankungsintervall, in dem die Länge mit 90 % Wahrscheinlichkeit liegt.

NormalverteilungStandardisierungStandardnormalverteilungzentrales Schwankungsintervall

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pnorm(30.27, mean = 30, sd = 0.2, lower.tail = FALSE)  # i) P(X > 30.27)
pnorm(29.86, mean = 30, sd = 0.2)                       # ii) P(X < 29.86)
pnorm(30.27, 30, 0.2) - pnorm(29.86, 30, 0.2)           # iii) dazwischen
qnorm(c(0.05, 0.95), mean = 30, sd = 0.2)               # c) 90%-Intervall

Ausgabe

[1] 0.08851
[1] 0.2419637
[1] 0.6695
[1] 29.671 30.329

Lösung

0/6 aufgedeckt

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Übungsaufgabe Nüchternblutzucker — Normalverteilung mittel Vorlesung K6 (Beispiel mit verdeckter Lösung)

Der Nüchternblutzucker $X$ (in mg/dl) sei normalverteilt mit $\mu = 90$ und $\sigma = 10$ .

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Nüchternblutzucker a) unter 75 mg/dl bzw. b) zwischen 85 und 105 mg/dl liegt?

NormalverteilungStandardisierungz-Tabelle

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pnorm(75, mean = 90, sd = 10)                     # P(X < 75)
pnorm(105, mean = 90, sd = 10) - pnorm(85, 90, 10) # P(85 < X < 105)

Ausgabe

[1] 0.0668072
[1] 0.6246553

Lösung

0/5 aufgedeckt

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Übungsaufgabe Kaffee-Füllgewicht — Normalverteilung in R leicht Übung 12, Aufgabe 2

Ein Unternehmen füllt Kaffee in 500-g-Packungen; das Füllgewicht $X$ ist normalverteilt mit $\mu=500$ g und $\sigma=5$ g. Löse in R: a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Füllgewicht (i) weniger als 490,2 g, (ii) mehr als 508,2 g, (iii) zwischen 485 g und 515 g beträgt. b) Bestimme die zentralen Schwankungsintervalle für 68,27 %, 95,45 % und 99,73 %.

RNormalverteilungpnormzentrales SchwankungsintervallSigma-Regeln

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pnorm(490.2, mean = 500, sd = 5)                       # i) P(X < 490.2)
pnorm(508.2, mean = 500, sd = 5, lower.tail = FALSE)   # ii) P(X > 508.2)
pnorm(515, 500, 5) - pnorm(485, 500, 5)                # iii) P(485 < X < 515)
500 + c(-1, 1) * 1 * 5      # b) 68.27%-Intervall
500 + c(-1, 1) * 2 * 5      #    95.45%-Intervall
500 + c(-1, 1) * 3 * 5      #    99.73%-Intervall

Ausgabe

[1] 0.0249979
[1] 0.05050258
[1] 0.9973002
[1] 495 505

Lösung

0/6 aufgedeckt

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Übungsaufgabe Zufallszahlen & Simulation in R (set.seed) leicht Übung 12, Aufgabe 3

Löse in R: a) Initialisiere den Zufallszahlengenerator mit 42, erzeuge 100 standardnormalverteilte Zufallszahlen und stelle sie in einem Histogramm dar. b) Simuliere 60 Würfe eines fairen Würfels und bestimme die relativen Häufigkeiten (vorher den Generator mit einem festen Wert initialisieren).

RSimulationset.seedrnormsamplerelative Häufigkeit

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set.seed(42)
z <- rnorm(100)                 # 100 Werte aus N(0,1)
hist(z, main = "100 x rnorm(1)")
set.seed(1)
wuerfe <- sample(1:6, 60, replace = TRUE)
prop.table(table(wuerfe))       # relative Häufigkeiten

Ausgabe

wuerfe
    1      2      3      4      5      6
0.150  0.183  0.133  0.200  0.167  0.167

Lösung

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Abruf-Quiz

Frage 1 / 4

Nüchternblutzucker X ~ N(90, 10). Wie groß ist P(X < 75)? (4 Nachkommastellen, Φ(−1,5)=1−0,9332)