Kapitel 5 · Diskrete Zufallsvariablen und Verteilungen

Diskrete Zufallsvariablen

Von Ergebnissen zu Zahlen

Ergebnisse von Zufallsvorgängen sind nicht immer Zahlen (z. B. »Kopf«/»Zahl«). Eine Zufallsvariable $X$ ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu. Den konkreten Wert bei einer Durchführung nennt man Realisierung $x$ , die Menge aller möglichen Werte den Träger $T$ .

$X$ heißt diskret, wenn $T$ endlich oder abzählbar ist.

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Die Verteilung von $X$ ist durch $P(X = x_i) = p_i$ gegeben. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist

f(x) = \begin{cases} p_i & x = x_i \in T \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}, \qquad \sum_i p_i = 1

Sie ist das Analogon zur relativen Häufigkeitsverteilung — nur dass jetzt Wahrscheinlichkeiten statt beobachteter Häufigkeiten stehen.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion summiert die Wahrscheinlichkeitsfunktion auf:

F(x) = P(X \le x) = \sum_{i\,:\,x_i \le x} f(x_i)

Sie ist eine monoton wachsende Treppenfunktion, springt an den $x_i$ um $p_i$ nach oben (rechtsseitig stetig, oberer Wert an der Sprungstelle) und geht von 0 auf 1. Nützliche Rechenregeln:

P(X > a) = 1 - F(a), \qquad P(a < X \le b) = F(b) - F(a)

Abruf-Quiz

Frage 1 / 3

Was ist eine Zufallsvariable, was eine Realisierung?

x <- c(3, 1, 4, 1, 5) # Vektor anlegen y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9)) # 26x 0, 9x 1 s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100) # gleichmäßige Folge 1:10 # Ganzzahlfolge length(x); sort(x); rev(x) # Länge, sortieren, umkehren x[x > 2] # logische Indizierung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)") # Säulen pie(table(x), labels = c("nein", "ja")) # Kreis hist(x) # Histogramm (Auto-Klassen) hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5), # eigene Klassen col = heat.colors(12), xlab = "kg") plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2) # Linie lines(s, cos(s)) # weitere Linie ergänzen boxplot(x) # Box-Plot

mean(x) # arithmetisches Mittel median(x) # Median quantile(x, c(.25, .5, .75)) # Quartile quantile(x, 0.9) # 90%-Quantil # Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit names(which.max(table(x)))

var(x) # Stichprobenvarianz (/ (n-1)) sd(x) # Standardabweichung IQR(x) # Interquartilsabstand range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite sd(x) / mean(x) # Variationskoeffizient

dbinom(k, size = n, prob = p) # Binomial P(X = k) pbinom(k, n, p) # P(X <= k) dpois(k, lambda); ppois(k, lambda) dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd) # Normal qnorm(0.975) # Quantil (z-Wert) rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # Zufallszahlen

t.test(x, mu = 0) # t-Test / KI für mu t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int # Konfidenzintervall prop.test(k, n) # Anteilstest chisq.test(table(a, b)) # Unabhängigkeitstest