Kapitel 2 · Univariate deskriptive Statistik

Streuungsmaße

Warum Streuung?

Ein Lagemaß allein sagt wenig: Zwei Datensätze mit identischem Mittel können völlig unterschiedlich streuen. Streuungsmaße erfassen die Variabilität und zeigen, wie repräsentativ das Zentrum ist.

Spannweite, IQR und Box-Plot

R = x_{max} - x_{min}, \qquad IQR = x_{0{,}75} - x_{0{,}25}

Die Spannweite nutzt nur die Extremwerte (sehr ausreißerempfindlich), der IQR nur die Quartile (robust). Der Box-Plot visualisiert die Fünf-Punkte-Zusammenfassung: Box von $x_{0{,}25}$ bis $x_{0{,}75}$ , Strich am Median, Whisker zu den Extremwerten (nach Tukey maximal $1{,}5\times IQR$ , Werte darüber als Ausreißer separat).

Varianz: empirisch vs. Stichprobe

Hier liegt eine zentrale Klausurfalle — zwei Varianten mit unterschiedlichem Nenner:

\underbrace{\tilde s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2}_{\text{empirische Varianz}} \qquad \underbrace{s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2}_{\text{Stichprobenvarianz}}

Die Stichprobenvarianz ( $/(n-1)$ ) ist erwartungstreu und wird in der induktiven Statistik bevorzugt. Die Standardabweichung ist $s = \sqrt{s^2}$ — gleiche Dimension wie die Daten.

Durchgerechnet: »Maßkrug Bier«

Mit $\bar x = 2{,}2$ und $\sum_i (x_i - \bar x)^2 = 31{,}6$ (n = 10):

\tilde s^2 = \frac{31{,}6}{10} = 3{,}16, \qquad s^2 = \frac{31{,}6}{9} = 3{,}51\ldots, \qquad s = \sqrt{3{,}51} \approx 1{,}9

Dieser Wert wird in den Tests gegen den Rechenkern reproduziert (tests/fixtures/kapitel-2).

Relative Streuung und nominale Merkmale

Variationskoeffizient $v = s/\bar x$ : dimensionslos, vergleicht Streuungen unterschiedlicher Größenordnung. Normiert $v^* = v/\sqrt{n} \in [0,1]$ .
Gini-Simpson-Index $v_G = \sum_j f_j(1-f_j)$ : Streuungsmaß für nominale Merkmale (0 bei maximaler Konzentration).

Übung: Alle Streuungsmaße aus der Verteilungsfunktion

Diese Aufgabe verbindet das ganze Kapitel — von der empirischen Verteilungsfunktion über Quantile bis zu Varianz, Variationskoeffizient, Gini-Simpson-Index und Box-Plot:

Übungsaufgabe Verteilungsfunktion ablesen — Streuung, Box-Plot & Gini-Simpson schwer Übung 4, Aufgabe 1

Gegeben ist die empirische Verteilungsfunktion $F(x)$ eines diskreten Merkmals mit $n=200$ Beobachtungen (Treppenfunktion mit Sprüngen bei $x=0$ auf $0{,}25$ , bei $x=2$ auf $0{,}75$ und bei $x=3$ auf $1{,}0$ ).

Löse mithilfe der Verteilungsfunktion: a) Berechne das arithmetische Mittel $\bar x$ . b) Bestimme grafisch das 25 %-, 50 %- und 75 %-Quantil. c) Berechne Spannweite $R$ , Interquartilsabstand $IQR$ , Varianz $s^2$ , Standardabweichung $s$ , den normierten Variationskoeffizienten $v^*$ und den Gini-Simpson-Index $v_G$ . d) Zeichne den zugehörigen Box-Plot.

empirische VerteilungsfunktionQuantileIQRVarianzVariationskoeffizientGini-SimpsonBox-Plot

R R-Lösung anzeigen

# Rohdaten aus den Sprunghöhen rekonstruieren (n = 200)
x <- rep(c(0, 2, 3), times = c(50, 100, 50))
mean(x)                       # arithmetisches Mittel
quantile(x, c(.25, .5, .75))  # Quartile
diff(range(x))                # Spannweite R
IQR(x)                        # Interquartilsabstand
var(x); sd(x)                 # Stichprobenvarianz & Standardabweichung
boxplot(x, horizontal = TRUE) # Box-Plot

Ausgabe

[1] 1.75
 25%  50%  75%
1.0  2.0  2.5
[1] 3
[1] 1.5
[1] 1.193467
[1] 1.092459

Lösung

0/9 aufgedeckt

↗ Aufgabe als Einzelseite öffnen

Übersicht: was darf welches Skalenniveau?

Skala	Lagemaße	Streuungsmaße
Nominal	Modus	Gini-Simpson
Ordinal	+ Median, Quantile	+ Spannweite, IQR
Intervall	+ arithm. Mittel	+ Varianz, Standardabw.
Verhältnis	+ geom. Mittel	+ Variationskoeffizient

Klausurfalle: Steht in der Aufgabe »Varianz«, prüfe den geforderten Nenner (n oder n−1). Beide sind im Rechenkern getrennt (variancePopulation vs. varianceSample).

Abruf-Quiz

Frage 1 / 4

Maßkrug Bier $1,0,3,4,4,2,0,3,0,5$ ( $\bar x=2{,}2$ , $\sum(x_i-\bar x)^2=31{,}6$ ). Wie groß ist die empirische Varianz $\tilde s^2$ (Teilung durch n)?