Kapitel 2 · Univariate deskriptive Statistik

Verteilungsfunktion ablesen — Streuung, Box-Plot & Gini-Simpson

schwer Übung 4, Aufgabe 1 empirische VerteilungsfunktionQuantileIQRVarianzVariationskoeffizientGini-SimpsonBox-Plot

Gegeben ist die empirische Verteilungsfunktion $F(x)$ eines diskreten Merkmals mit $n=200$ Beobachtungen (Treppenfunktion mit Sprüngen bei $x=0$ auf $0{,}25$ , bei $x=2$ auf $0{,}75$ und bei $x=3$ auf $1{,}0$ ).

Löse mithilfe der Verteilungsfunktion: a) Berechne das arithmetische Mittel $\bar x$ . b) Bestimme grafisch das 25 %-, 50 %- und 75 %-Quantil. c) Berechne Spannweite $R$ , Interquartilsabstand $IQR$ , Varianz $s^2$ , Standardabweichung $s$ , den normierten Variationskoeffizienten $v^*$ und den Gini-Simpson-Index $v_G$ . d) Zeichne den zugehörigen Box-Plot.

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# Rohdaten aus den Sprunghöhen rekonstruieren (n = 200)
x <- rep(c(0, 2, 3), times = c(50, 100, 50))
mean(x)                       # arithmetisches Mittel
quantile(x, c(.25, .5, .75))  # Quartile
diff(range(x))                # Spannweite R
IQR(x)                        # Interquartilsabstand
var(x); sd(x)                 # Stichprobenvarianz & Standardabweichung
boxplot(x, horizontal = TRUE) # Box-Plot

Ausgabe

[1] 1.75
 25%  50%  75%
1.0  2.0  2.5
[1] 3
[1] 1.5
[1] 1.193467
[1] 1.092459

Lösung

0/9 aufgedeckt

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x <- c(3, 1, 4, 1, 5) # Vektor anlegen y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9)) # 26x 0, 9x 1 s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100) # gleichmäßige Folge 1:10 # Ganzzahlfolge length(x); sort(x); rev(x) # Länge, sortieren, umkehren x[x > 2] # logische Indizierung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)") # Säulen pie(table(x), labels = c("nein", "ja")) # Kreis hist(x) # Histogramm (Auto-Klassen) hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5), # eigene Klassen col = heat.colors(12), xlab = "kg") plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2) # Linie lines(s, cos(s)) # weitere Linie ergänzen boxplot(x) # Box-Plot

mean(x) # arithmetisches Mittel median(x) # Median quantile(x, c(.25, .5, .75)) # Quartile quantile(x, 0.9) # 90%-Quantil # Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit names(which.max(table(x)))

var(x) # Stichprobenvarianz (/ (n-1)) sd(x) # Standardabweichung IQR(x) # Interquartilsabstand range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite sd(x) / mean(x) # Variationskoeffizient

dbinom(k, size = n, prob = p) # Binomial P(X = k) pbinom(k, n, p) # P(X <= k) dpois(k, lambda); ppois(k, lambda) dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd) # Normal qnorm(0.975) # Quantil (z-Wert) rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # Zufallszahlen

t.test(x, mu = 0) # t-Test / KI für mu t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int # Konfidenzintervall prop.test(k, n) # Anteilstest chisq.test(table(a, b)) # Unabhängigkeitstest