Kapitel 4 · Wahrscheinlichkeitsrechnung

Bedingte Wahrscheinlichkeit & Unabhängigkeit

Hinweis: Standarddefinitionen (Folien fehlen, s. REVIEW.md); durch den Rechenkern abgesichert.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Wie ändert sich die Wahrscheinlichkeit von $A$ , wenn man weiß, dass $B$ schon eingetreten ist? Man schränkt den Ergebnisraum auf $B$ ein:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \qquad P(B) > 0

Beispiel (fairer Würfel): $P(\ge 5 \mid \text{gerade}) = \dfrac{P(\{6\})}{P(\{2,4,6\})} = \dfrac{1/6}{1/2} = \dfrac13$ .

Produktsatz

Umgestellt ergibt sich der Produktsatz für die gemeinsame Wahrscheinlichkeit:

P(A \cap B) = P(A \mid B)\cdot P(B) = P(B \mid A)\cdot P(A)

Er ist die Grundlage für Baumdiagramme (Pfadwahrscheinlichkeiten = Produkt entlang des Pfades).

Stochastische Unabhängigkeit

$A$ und $B$ heißen unabhängig, wenn das Eintreten von $B$ die Wahrscheinlichkeit von $A$ nicht ändert:

P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) \quad\Longleftrightarrow\quad P(A\mid B)=P(A)

Klausurfalle: Unvereinbar (disjunkt) und unabhängig sind nicht dasselbe — eher Gegenteile. Disjunkte Ereignisse mit $P>0$ sind stark abhängig: tritt das eine ein, ist das andere ausgeschlossen.

Abruf-Quiz

Frage 1 / 3

Fairer Würfel. Wie groß ist P(Augenzahl ≥ 5 | Augenzahl gerade)?

x <- c(3, 1, 4, 1, 5) # Vektor anlegen y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9)) # 26x 0, 9x 1 s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100) # gleichmäßige Folge 1:10 # Ganzzahlfolge length(x); sort(x); rev(x) # Länge, sortieren, umkehren x[x > 2] # logische Indizierung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)") # Säulen pie(table(x), labels = c("nein", "ja")) # Kreis hist(x) # Histogramm (Auto-Klassen) hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5), # eigene Klassen col = heat.colors(12), xlab = "kg") plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2) # Linie lines(s, cos(s)) # weitere Linie ergänzen boxplot(x) # Box-Plot

mean(x) # arithmetisches Mittel median(x) # Median quantile(x, c(.25, .5, .75)) # Quartile quantile(x, 0.9) # 90%-Quantil # Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit names(which.max(table(x)))

var(x) # Stichprobenvarianz (/ (n-1)) sd(x) # Standardabweichung IQR(x) # Interquartilsabstand range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite sd(x) / mean(x) # Variationskoeffizient

dbinom(k, size = n, prob = p) # Binomial P(X = k) pbinom(k, n, p) # P(X <= k) dpois(k, lambda); ppois(k, lambda) dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd) # Normal qnorm(0.975) # Quantil (z-Wert) rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # Zufallszahlen

t.test(x, mu = 0) # t-Test / KI für mu t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int # Konfidenzintervall prop.test(k, n) # Anteilstest chisq.test(table(a, b)) # Unabhängigkeitstest