Kapitel 5 · Diskrete Zufallsvariablen und Verteilungen

Erwartungswert & Varianz

Erwartungswert

Der Erwartungswert ist das mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittel der möglichen Werte:

E(X) = \mu = \sum_{i} x_i\, p_i = \sum_i x_i\, f(x_i)

Er beschreibt das Zentrum der Verteilung — die »Erwartung« an das Ergebnis, ohne das Experiment durchzuführen. Das unterscheidet ihn vom arithmetischen Mittel $\bar x$ , das den Schwerpunkt erhobener Daten beschreibt.

Varianz und Standardabweichung

Die Varianz misst die zu erwartende Streuung:

\operatorname{Var}(X) = \sigma^2 = \sum_i (x_i - \mu)^2 f(x_i), \qquad \sigma = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}

Rechenregeln

Regel	Erwartungswert	Varianz
Lineartransformation	$E(aX+b)=aE(X)+b$	$\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$
Summe	$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$	bei Unabhängigkeit: $\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)$
Produkt (unabh.)	$E(X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y)$	—

Bei symmetrischer Wahrscheinlichkeitsfunktion um $c$ ist $E(X)=c$ .

Klausurfalle: Der Faktor $a$ geht quadratisch in die Varianz ein ( $a^2$ ), aber linear in den Erwartungswert. Und Varianzen addieren sich nur bei Unabhängigkeit.

Übungsaufgaben

Übungsaufgabe Münzwurf-Wette — Erwartungswert & Varianz einer Zufallsvariable mittel Übung 8, Aufgabe 1

Zwei Spieler werfen eine faire Münze zweimal. Spieler A erhält von B 2 € bei zweimal Kopf und 1 € bei genau einmal Kopf; B erhält von A 3 €, wenn nie Kopf fällt. Sei $X$ = „Gewinn des Spielers A”.

a) Welche Werte kann $X$ annehmen und mit welchen Wahrscheinlichkeiten? b) Berechne $E(X)$ . Ist das Spiel fair? c) Berechne $\operatorname{Var}(X)$ und die Standardabweichung $\sigma(X)$ .

ZufallsvariableWahrscheinlichkeitsfunktionErwartungswertVarianzfaires Spiel

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x  <- c(-3, 1, 2)
px <- c(1/4, 1/2, 1/4)
mu  <- sum(x * px)            # Erwartungswert
var <- sum((x - mu)^2 * px)   # Varianz
c(E = mu, Var = var, sd = sqrt(var))

Ausgabe

E      Var    sd
0.250  3.688  1.920

Lösung

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Abruf-Quiz

Frage 1 / 3

Spielwette: Gewinn X ∈ {−3, 1, 2} mit P = {0,25; 0,5; 0,25}. Wie groß ist E(X)?

x <- c(3, 1, 4, 1, 5) # Vektor anlegen y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9)) # 26x 0, 9x 1 s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100) # gleichmäßige Folge 1:10 # Ganzzahlfolge length(x); sort(x); rev(x) # Länge, sortieren, umkehren x[x > 2] # logische Indizierung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)") # Säulen pie(table(x), labels = c("nein", "ja")) # Kreis hist(x) # Histogramm (Auto-Klassen) hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5), # eigene Klassen col = heat.colors(12), xlab = "kg") plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2) # Linie lines(s, cos(s)) # weitere Linie ergänzen boxplot(x) # Box-Plot

mean(x) # arithmetisches Mittel median(x) # Median quantile(x, c(.25, .5, .75)) # Quartile quantile(x, 0.9) # 90%-Quantil # Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit names(which.max(table(x)))

var(x) # Stichprobenvarianz (/ (n-1)) sd(x) # Standardabweichung IQR(x) # Interquartilsabstand range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite sd(x) / mean(x) # Variationskoeffizient

dbinom(k, size = n, prob = p) # Binomial P(X = k) pbinom(k, n, p) # P(X <= k) dpois(k, lambda); ppois(k, lambda) dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd) # Normal qnorm(0.975) # Quantil (z-Wert) rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # Zufallszahlen

t.test(x, mu = 0) # t-Test / KI für mu t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int # Konfidenzintervall prop.test(k, n) # Anteilstest chisq.test(table(a, b)) # Unabhängigkeitstest