Kapitel 5 · Diskrete Zufallsvariablen und Verteilungen

Münzwurf-Wette — Erwartungswert & Varianz einer Zufallsvariable

mittel Übung 8, Aufgabe 1 ZufallsvariableWahrscheinlichkeitsfunktionErwartungswertVarianzfaires Spiel

Zwei Spieler werfen eine faire Münze zweimal. Spieler A erhält von B 2 € bei zweimal Kopf und 1 € bei genau einmal Kopf; B erhält von A 3 €, wenn nie Kopf fällt. Sei $X$ = „Gewinn des Spielers A”.

a) Welche Werte kann $X$ annehmen und mit welchen Wahrscheinlichkeiten? b) Berechne $E(X)$ . Ist das Spiel fair? c) Berechne $\operatorname{Var}(X)$ und die Standardabweichung $\sigma(X)$ .

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x  <- c(-3, 1, 2)
px <- c(1/4, 1/2, 1/4)
mu  <- sum(x * px)            # Erwartungswert
var <- sum((x - mu)^2 * px)   # Varianz
c(E = mu, Var = var, sd = sqrt(var))

Ausgabe

E      Var    sd
0.250  3.688  1.920

Lösung

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R Cheatsheet

Vektoren & Sequenzen

x <- c(3, 1, 4, 1, 5)        # Vektor anlegen
y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9))  # 26x 0, 9x 1
s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100)  # gleichmäßige Folge
1:10                          # Ganzzahlfolge
length(x); sort(x); rev(x)    # Länge, sortieren, umkehren
x[x > 2]                      # logische Indizierung

Daten einlesen

df <- read.table("Daten.dat", header = TRUE,
                 sep = ":", dec = ",")
str(df)        # Struktur ansehen
head(df); summary(df)
df$Spalte      # Spalte auswählen   (NA = fehlender Wert)

Häufigkeiten

table(x)                 # absolute Häufigkeiten
table(x) / length(x)     # relative Häufigkeiten
prop.table(table(x))     # dito
cumsum(table(x))         # kumulierte Häufigkeiten

Grafische Darstellung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)")  # Säulen
pie(table(x), labels = c("nein", "ja"))           # Kreis
hist(x)                                  # Histogramm (Auto-Klassen)
hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5),   # eigene Klassen
     col = heat.colors(12), xlab = "kg")
plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2)  # Linie
lines(s, cos(s))                         # weitere Linie ergänzen
boxplot(x)                               # Box-Plot

Lagemaße

mean(x)                  # arithmetisches Mittel
median(x)                # Median
quantile(x, c(.25, .5, .75))  # Quartile
quantile(x, 0.9)         # 90%-Quantil
# Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit
names(which.max(table(x)))

Streuungsmaße

var(x)                   # Stichprobenvarianz  (/ (n-1))
sd(x)                    # Standardabweichung
IQR(x)                   # Interquartilsabstand
range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite
sd(x) / mean(x)          # Variationskoeffizient

Verteilungen

dbinom(k, size = n, prob = p)   # Binomial P(X = k)
pbinom(k, n, p)                 # P(X <= k)
dpois(k, lambda); ppois(k, lambda)
dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd)   # Normal
qnorm(0.975)                    # Quantil (z-Wert)
rnorm(100, mean = 0, sd = 1)    # Zufallszahlen

Schätzen & Testen

t.test(x, mu = 0)                       # t-Test / KI für mu
t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int   # Konfidenzintervall
prop.test(k, n)                         # Anteilstest
chisq.test(table(a, b))                 # Unabhängigkeitstest