Kapitel 8 · Hypothesentests

p-Wert & formaler Testablauf

Der p-Wert

Statt nur »verwerfen/beibehalten« liefert der p-Wert ein Maß für die Evidenz gegen $H_0$ :

Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, unter Gültigkeit von $H_0$ den beobachteten Prüfgrößenwert oder einen extremeren (in Richtung $H_1$ ) zu erhalten.

Ein kleiner p-Wert heißt: Die Daten passen schlecht zu $H_0$ . Die Entscheidungsregel:

p < \alpha \;\Rightarrow\; H_0 \text{ verwerfen}, \qquad p \ge \alpha \;\Rightarrow\; H_0 \text{ beibehalten}

Das ist äquivalent zum kritischen-Wert-Verfahren: $p<\alpha$ gilt genau dann, wenn die Prüfgröße im Ablehnbereich liegt.

Beispiele

Kaffee (einseitig, $z=-2{,}1082$ ): $p = \Phi(-2{,}1082) = 0{,}0175 < 0{,}05$ → $H_0$ verwerfen (Füllmenge signifikant kleiner als 200 ml).
Schokolade (zweiseitig, $t=1{,}5492$ , df $=14$ ): $p = 2\cdot 0{,}07182 = 0{,}1436 > 0{,}05$ → $H_0$ beibehalten.

(Beide p-Werte im Test gegen den Kern reproduziert.)

Der formale Ablauf (7 Schritte)

Problem inhaltlich formulieren.
Testproblem ( $H_0$ vs. $H_1$ ) aufstellen.
Signifikanzniveau $\alpha$ festlegen.
Prüfgröße wählen und ihre Verteilung unter $H_0$ bestimmen.
Ablehnbereich konstruieren.
Prüfgrößenwert aus der Stichprobe berechnen.
Entscheidung treffen und sachlogisch interpretieren.

Den richtigen Test wählen

Vier Fragen bestimmen die Testwahl:

Funktion des Tests (Lage? Zusammenhang? Anpassung?),
Datenniveau (nominal / ordinal / metrisch),
Verteilung der Daten (normal / symmetrisch / weder),
Stichprobe (verbunden / unverbunden).

Klausurfalle: Reihenfolge einhalten — $\alpha$ vor der Datenanalyse festlegen. Und den p-Wert nicht als »Wahrscheinlichkeit, dass $H_0$ wahr ist« missdeuten: Er ist eine Wahrscheinlichkeit unter $H_0$ , nicht über $H_0$ .

Übungsaufgaben

Übungsaufgabe Verschmierte R-Testausgabe rekonstruieren mittel Übung 14, Aufgabe 4

Die Ausgabe eines statistischen Tests in R ist teils unleserlich (Kaffeefleck). a) Wie lauten $H_0$ und $H_1$ , wenn $\mu_0=0$ ist? Begründe anhand der Zeile „alternative hypothesis”. b) Ermittle den fehlenden p-Wert aus den noch lesbaren Angaben ( $t$ und $df$ ) der Testausgabe.

t-Testp-WertTestausgabe lesenein-/zweiseitig

R R-Lösung anzeigen

# Beispiel: aus der Ausgabe lesbar t = 2.3, df = 12
t  <- 2.3; df <- 12
2 * pt(-abs(t), df)        # zweiseitiger p-Wert (mu0 = 0)
pt(t, df, lower.tail = FALSE)   # falls "greater"

Ausgabe

[1] 0.04013
[1] 0.02006

Lösung

0/5 aufgedeckt

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Abruf-Quiz

Frage 1 / 4

Kaffee (einseitig): z=−2,1082. Der p-Wert ist P(Z ≤ −2,1082). Wie groß? (4 Nachkommastellen)

x <- c(3, 1, 4, 1, 5) # Vektor anlegen y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9)) # 26x 0, 9x 1 s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100) # gleichmäßige Folge 1:10 # Ganzzahlfolge length(x); sort(x); rev(x) # Länge, sortieren, umkehren x[x > 2] # logische Indizierung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)") # Säulen pie(table(x), labels = c("nein", "ja")) # Kreis hist(x) # Histogramm (Auto-Klassen) hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5), # eigene Klassen col = heat.colors(12), xlab = "kg") plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2) # Linie lines(s, cos(s)) # weitere Linie ergänzen boxplot(x) # Box-Plot

mean(x) # arithmetisches Mittel median(x) # Median quantile(x, c(.25, .5, .75)) # Quartile quantile(x, 0.9) # 90%-Quantil # Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit names(which.max(table(x)))

var(x) # Stichprobenvarianz (/ (n-1)) sd(x) # Standardabweichung IQR(x) # Interquartilsabstand range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite sd(x) / mean(x) # Variationskoeffizient

dbinom(k, size = n, prob = p) # Binomial P(X = k) pbinom(k, n, p) # P(X <= k) dpois(k, lambda); ppois(k, lambda) dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd) # Normal qnorm(0.975) # Quantil (z-Wert) rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # Zufallszahlen

t.test(x, mu = 0) # t-Test / KI für mu t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int # Konfidenzintervall prop.test(k, n) # Anteilstest chisq.test(table(a, b)) # Unabhängigkeitstest