Kapitel 8 · Hypothesentests

Gauß-Test

Der Gauß-Test

Der Gauß-Test vergleicht einen hypothetischen Erwartungswert $\mu_0$ mit dem unbekannten $\mu$ , wenn $\sigma$ bekannt ist (oder $n > 30$ ). Prüfgröße:

Z = \frac{\bar X - \mu_0}{\sigma/\sqrt n} \overset{H_0}{\sim} N(0,1)

Ein- und zweiseitig

Hypothesen	Ablehnung von $H_0$
$H_0: \mu=\mu_0$ gegen $H_1: \mu\ne\mu_0$	$\lvert Z\rvert > z_{1-\alpha/2}$
$H_0: \mu\ge\mu_0$ gegen $H_1: \mu<\mu_0$	$Z < -z_{1-\alpha}$
$H_0: \mu\le\mu_0$ gegen $H_1: \mu>\mu_0$	$Z > z_{1-\alpha}$

Beim zweiseitigen Test verteilt sich $\alpha$ auf beide Enden ( $\alpha/2$ je Seite), beim einseitigen liegt das ganze $\alpha$ auf einer Seite — dort ist der kritische Wert näher an 0 ( $z_{1-\alpha}$ statt $z_{1-\alpha/2}$ ).

Verschiebe die Prüfgröße und $\alpha$ und wechsle die Seitigkeit:

Klausurfalle: Seitigkeit aus der Fragestellung ableiten. »Weicht ab« → zweiseitig; »ist kleiner/größer als« → einseitig. Der einseitige kritische Wert ( $z_{0{,}95}=1{,}64$ ) ist kleiner als der zweiseitige ( $z_{0{,}975}=1{,}96$ ).

Übungsaufgaben

Übungsaufgabe Abfüllanlage — Gauß-Test (σ bekannt) mittel Übung 13, Aufgabe 1

Eine Abfüllanlage soll im Mittel 330 ml bei $\sigma=5$ ml abfüllen (normalverteilt). Eine Stichprobe von $n=16$ Behältern ergab $\bar x=327$ ml. Überprüfe die Herstellerbehauptung. a) Formuliere $H_0$ und $H_1$ . b) Lege $\alpha=5\,\%$ fest. c) Wähle eine Prüfgröße — wie ist sie unter $H_0$ verteilt? d) Bestimme den Ablehnbereich. e) Berechne den Wert der Prüfgröße. f) Führe den Test durch und interpretiere.

HypothesentestGauß-TestPrüfgrößeAblehnbereichzweiseitig

R R-Lösung anzeigen

xbar <- 327; mu0 <- 330; sigma <- 5; n <- 16
z <- (xbar - mu0) / (sigma / sqrt(n))   # Prüfgröße
z
qnorm(0.975)                            # kritischer Wert
2 * pnorm(-abs(z))                       # zweiseitiger p-Wert

Ausgabe

[1] -2.4
[1] 1.959964
[1] 0.01639507

Lösung

0/7 aufgedeckt

↗ Aufgabe als Einzelseite öffnen

Abruf-Quiz

Frage 1 / 3

Voraussetzung für den Gauß-Test ist …

x <- c(3, 1, 4, 1, 5) # Vektor anlegen y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9)) # 26x 0, 9x 1 s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100) # gleichmäßige Folge 1:10 # Ganzzahlfolge length(x); sort(x); rev(x) # Länge, sortieren, umkehren x[x > 2] # logische Indizierung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)") # Säulen pie(table(x), labels = c("nein", "ja")) # Kreis hist(x) # Histogramm (Auto-Klassen) hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5), # eigene Klassen col = heat.colors(12), xlab = "kg") plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2) # Linie lines(s, cos(s)) # weitere Linie ergänzen boxplot(x) # Box-Plot

mean(x) # arithmetisches Mittel median(x) # Median quantile(x, c(.25, .5, .75)) # Quartile quantile(x, 0.9) # 90%-Quantil # Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit names(which.max(table(x)))

var(x) # Stichprobenvarianz (/ (n-1)) sd(x) # Standardabweichung IQR(x) # Interquartilsabstand range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite sd(x) / mean(x) # Variationskoeffizient

dbinom(k, size = n, prob = p) # Binomial P(X = k) pbinom(k, n, p) # P(X <= k) dpois(k, lambda); ppois(k, lambda) dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd) # Normal qnorm(0.975) # Quantil (z-Wert) rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # Zufallszahlen

t.test(x, mu = 0) # t-Test / KI für mu t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int # Konfidenzintervall prop.test(k, n) # Anteilstest chisq.test(table(a, b)) # Unabhängigkeitstest