Kapitel 6 · Stetige Zufallsvariablen und Verteilungen

Schraubenlänge — Normalverteilung & z-Standardisierung

mittel Übung 11, Aufgabe 1 NormalverteilungStandardisierungStandardnormalverteilungzentrales Schwankungsintervall

Die Schraubenlänge $X$ (in mm) einer Sorte ist normalverteilt mit $\mu=30$ mm und $\sigma=0{,}2$ mm.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Länge (i) größer als 30,27 mm, (ii) kleiner als 29,86 mm, (iii) zwischen 29,86 mm und 30,27 mm ist. c) Bestimme das zentrale Schwankungsintervall, in dem die Länge mit 90 % Wahrscheinlichkeit liegt.

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pnorm(30.27, mean = 30, sd = 0.2, lower.tail = FALSE)  # i) P(X > 30.27)
pnorm(29.86, mean = 30, sd = 0.2)                       # ii) P(X < 29.86)
pnorm(30.27, 30, 0.2) - pnorm(29.86, 30, 0.2)           # iii) dazwischen
qnorm(c(0.05, 0.95), mean = 30, sd = 0.2)               # c) 90%-Intervall

Ausgabe

[1] 0.08851
[1] 0.2419637
[1] 0.6695
[1] 29.671 30.329

Lösung

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R Cheatsheet

Vektoren & Sequenzen

x <- c(3, 1, 4, 1, 5)        # Vektor anlegen
y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9))  # 26x 0, 9x 1
s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100)  # gleichmäßige Folge
1:10                          # Ganzzahlfolge
length(x); sort(x); rev(x)    # Länge, sortieren, umkehren
x[x > 2]                      # logische Indizierung

Daten einlesen

df <- read.table("Daten.dat", header = TRUE,
                 sep = ":", dec = ",")
str(df)        # Struktur ansehen
head(df); summary(df)
df$Spalte      # Spalte auswählen   (NA = fehlender Wert)

Häufigkeiten

table(x)                 # absolute Häufigkeiten
table(x) / length(x)     # relative Häufigkeiten
prop.table(table(x))     # dito
cumsum(table(x))         # kumulierte Häufigkeiten

Grafische Darstellung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)")  # Säulen
pie(table(x), labels = c("nein", "ja"))           # Kreis
hist(x)                                  # Histogramm (Auto-Klassen)
hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5),   # eigene Klassen
     col = heat.colors(12), xlab = "kg")
plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2)  # Linie
lines(s, cos(s))                         # weitere Linie ergänzen
boxplot(x)                               # Box-Plot

Lagemaße

mean(x)                  # arithmetisches Mittel
median(x)                # Median
quantile(x, c(.25, .5, .75))  # Quartile
quantile(x, 0.9)         # 90%-Quantil
# Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit
names(which.max(table(x)))

Streuungsmaße

var(x)                   # Stichprobenvarianz  (/ (n-1))
sd(x)                    # Standardabweichung
IQR(x)                   # Interquartilsabstand
range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite
sd(x) / mean(x)          # Variationskoeffizient

Verteilungen

dbinom(k, size = n, prob = p)   # Binomial P(X = k)
pbinom(k, n, p)                 # P(X <= k)
dpois(k, lambda); ppois(k, lambda)
dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd)   # Normal
qnorm(0.975)                    # Quantil (z-Wert)
rnorm(100, mean = 0, sd = 1)    # Zufallszahlen

Schätzen & Testen

t.test(x, mu = 0)                       # t-Test / KI für mu
t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int   # Konfidenzintervall
prop.test(k, n)                         # Anteilstest
chisq.test(table(a, b))                 # Unabhängigkeitstest