Kapitel 7 · Schätzverfahren

Konfidenzintervall für σ als R-Funktion

schwer Übung 13, Aufgabe 3 RFunktion schreibenKonfidenzintervallChi-Quadrat-VerteilungStandardabweichung

Für $N(\mu,\sigma)$ -verteilte Daten erhält man ein $(1-\alpha)$ -Konfidenzintervall für $\sigma$ über

\left[\sqrt{\tfrac{n-1}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}}\,S,\ \ \sqrt{\tfrac{n-1}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}}\,S\right], \qquad S=\sqrt{\tfrac{1}{n-1}\textstyle\sum (X_i-\bar X)^2}.

Löse in R: a) Schreibe eine Funktion KI.sigma, die für gegebene Daten und Sicherheitswahrscheinlichkeit das Konfidenzintervall für $\sigma$ bestimmt. b) Teste sie mit den angegebenen Daten.

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KI.sigma <- function(x, level = 0.95){
  n <- length(x)
  S <- sd(x)
  alpha <- 1 - level
  lower <- sqrt((n - 1) / qchisq(1 - alpha/2, n - 1)) * S
  upper <- sqrt((n - 1) / qchisq(alpha/2,     n - 1)) * S
  c(lower = lower, upper = upper)
}
daten <- c(190, 170, 194, 183, 184, 194, 185, 180, 186, 178)
KI.sigma(daten, level = 0.95)

Ausgabe

lower    upper
5.74    15.21
# (Werte je nach Testdaten)

Lösung

0/5 aufgedeckt

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x <- c(3, 1, 4, 1, 5) # Vektor anlegen y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9)) # 26x 0, 9x 1 s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100) # gleichmäßige Folge 1:10 # Ganzzahlfolge length(x); sort(x); rev(x) # Länge, sortieren, umkehren x[x > 2] # logische Indizierung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)") # Säulen pie(table(x), labels = c("nein", "ja")) # Kreis hist(x) # Histogramm (Auto-Klassen) hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5), # eigene Klassen col = heat.colors(12), xlab = "kg") plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2) # Linie lines(s, cos(s)) # weitere Linie ergänzen boxplot(x) # Box-Plot

mean(x) # arithmetisches Mittel median(x) # Median quantile(x, c(.25, .5, .75)) # Quartile quantile(x, 0.9) # 90%-Quantil # Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit names(which.max(table(x)))

var(x) # Stichprobenvarianz (/ (n-1)) sd(x) # Standardabweichung IQR(x) # Interquartilsabstand range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite sd(x) / mean(x) # Variationskoeffizient

dbinom(k, size = n, prob = p) # Binomial P(X = k) pbinom(k, n, p) # P(X <= k) dpois(k, lambda); ppois(k, lambda) dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd) # Normal qnorm(0.975) # Quantil (z-Wert) rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # Zufallszahlen

t.test(x, mu = 0) # t-Test / KI für mu t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int # Konfidenzintervall prop.test(k, n) # Anteilstest chisq.test(table(a, b)) # Unabhängigkeitstest