R-Kurs · Kapitel 11 · Stetige Verteilungen in R

Stetige Verteilungen in R

Exponentialverteilung

Parameter ist die Rate $\lambda$ (rate); der Erwartungswert ist $1/\lambda$ .

pexp(0.25, rate = 3)                 # P(X <= 0.25)
pexp(100, rate = 0.01, lower.tail = FALSE)  # P(X > 100)
qexp(0.05, rate = 3)                 # 5%-Quantil

Ausgabe

[1] 0.5276334
[1] 0.3678794
[1] 0.01709691

Normalverteilung

pnorm(75, mean = 90, sd = 10)               # P(X < 75)
pnorm(30.27, mean = 30, sd = 0.2, lower.tail = FALSE)  # P(X > 30.27)
qnorm(0.975)                                # z-Quantil (Standardnormal)

Ausgabe

[1] 0.0668072
[1] 0.08850799
[1] 1.959964

Mini-Aufgabe

Das Füllgewicht ist $N(500, 5)$ -verteilt. Wie groß ist $P(X < 490{,}2)$ ?

💡 Tipp

pnorm(x, mean, sd) gibt die Fläche links von x.

Lösung zeigen

# X ~ N(500, 5): P(X < 490.2)
pnorm(490.2, mean = 500, sd = 5)

Ausgabe

[1] 0.0249979

Chi-Quadrat- und t-Verteilung

Für Prüfgrößen braucht man Quantile mit Freiheitsgraden (df):

qt(0.975, df = 14)         # t-Quantil, 14 Freiheitsgrade
qchisq(0.95, df = 9)       # Chi-Quadrat-Quantil
pt(2, df = 14)             # P(T <= 2)

Ausgabe

[1] 2.144787
[1] 16.91898
[1] 0.9673057

Mini-Aufgabe

Bestimme die zentralen Grenzen für 90 % der Standardnormalverteilung (das 5 %- und das 95 %-Quantil).

💡 Tipp

qnorm liefert das Quantil; Standardnormal hat mean=0, sd=1.

Lösung zeigen

qnorm(c(0.05, 0.95))   # 5%- und 95%-Quantil der Standardnormal

Ausgabe

[1] -1.644854  1.644854

Abruf-Quiz

Frage 1 / 2

Was liefert pnorm(75, mean = 90, sd = 10)?

x <- c(3, 1, 4, 1, 5) # Vektor anlegen y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9)) # 26x 0, 9x 1 s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100) # gleichmäßige Folge 1:10 # Ganzzahlfolge length(x); sort(x); rev(x) # Länge, sortieren, umkehren x[x > 2] # logische Indizierung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)") # Säulen pie(table(x), labels = c("nein", "ja")) # Kreis hist(x) # Histogramm (Auto-Klassen) hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5), # eigene Klassen col = heat.colors(12), xlab = "kg") plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2) # Linie lines(s, cos(s)) # weitere Linie ergänzen boxplot(x) # Box-Plot

mean(x) # arithmetisches Mittel median(x) # Median quantile(x, c(.25, .5, .75)) # Quartile quantile(x, 0.9) # 90%-Quantil # Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit names(which.max(table(x)))

var(x) # Stichprobenvarianz (/ (n-1)) sd(x) # Standardabweichung IQR(x) # Interquartilsabstand range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite sd(x) / mean(x) # Variationskoeffizient

dbinom(k, size = n, prob = p) # Binomial P(X = k) pbinom(k, n, p) # P(X <= k) dpois(k, lambda); ppois(k, lambda) dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd) # Normal qnorm(0.975) # Quantil (z-Wert) rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # Zufallszahlen

t.test(x, mu = 0) # t-Test / KI für mu t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int # Konfidenzintervall prop.test(k, n) # Anteilstest chisq.test(table(a, b)) # Unabhängigkeitstest