R-Kurs · Kapitel 14 · Konfidenzintervalle in R

Konfidenzintervalle in R

σ bekannt — z-Intervall

Bei bekanntem $\sigma$ nutzt man das Quantil der Standardnormalverteilung: $\bar x \pm z_{1-\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt n}$ .

xbar <- 169.5; sigma <- 10; n <- 20
xbar + c(-1, 1) * qnorm(0.975) * sigma / sqrt(n)   # 95%-KI

Ausgabe

[1] 165.1174 173.8826

Mini-Aufgabe

Ein Abfüllgewicht hat $\bar x = 175{,}6$ , bekanntes $\sigma = 2$ , $n = 10$ . Bestimme das 95 %-Konfidenzintervall für $\mu$ .

💡 Tipp

qnorm(0.975) = 1.96; Standardfehler = sigma/sqrt(n).

Lösung zeigen

xbar <- 175.6; sigma <- 2; n <- 10
xbar + c(-1, 1) * qnorm(0.975) * sigma / sqrt(n)

Ausgabe

[1] 174.3603 176.8397

σ unbekannt — t-Intervall mit t.test()

Ist $\sigma$ unbekannt, schätzt R es aus den Daten und nutzt die t-Verteilung — am bequemsten über t.test:

x <- c(175, 175, 178, 177, 178, 174, 176, 177, 172, 174)
t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int   # 95%-KI (t)
t.test(x, conf.level = 0.99)$conf.int   # 99%-KI

Ausgabe

[1] 174.2015 176.9985
attr(,"conf.level")
[1] 0.95
[1] 173.5537 177.6463
attr(,"conf.level")
[1] 0.99

Mini-Aufgabe

Bestimme mit t.test() das 95 %-Konfidenzintervall für den mittleren Blutdruck aus c(126, 128, 133, 129, 124, 127, 132).

💡 Tipp

t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int liefert die Intervallgrenzen.

Lösung zeigen

bd <- c(126, 128, 133, 129, 124, 127, 132)
t.test(bd, conf.level = 0.95)$conf.int

Ausgabe

[1] 125.4639 131.3933
attr(,"conf.level")
[1] 0.95

Merke: σ bekannt → qnorm (z-Intervall); σ unbekannt → t.test (t-Intervall, df = n−1). Höheres Niveau → breiteres Intervall.

Abruf-Quiz

Frage 1 / 2

Welche Funktion liefert direkt ein Konfidenzintervall für µ (σ unbekannt)?

x <- c(3, 1, 4, 1, 5) # Vektor anlegen y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9)) # 26x 0, 9x 1 s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100) # gleichmäßige Folge 1:10 # Ganzzahlfolge length(x); sort(x); rev(x) # Länge, sortieren, umkehren x[x > 2] # logische Indizierung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)") # Säulen pie(table(x), labels = c("nein", "ja")) # Kreis hist(x) # Histogramm (Auto-Klassen) hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5), # eigene Klassen col = heat.colors(12), xlab = "kg") plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2) # Linie lines(s, cos(s)) # weitere Linie ergänzen boxplot(x) # Box-Plot

mean(x) # arithmetisches Mittel median(x) # Median quantile(x, c(.25, .5, .75)) # Quartile quantile(x, 0.9) # 90%-Quantil # Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit names(which.max(table(x)))

var(x) # Stichprobenvarianz (/ (n-1)) sd(x) # Standardabweichung IQR(x) # Interquartilsabstand range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite sd(x) / mean(x) # Variationskoeffizient

dbinom(k, size = n, prob = p) # Binomial P(X = k) pbinom(k, n, p) # P(X <= k) dpois(k, lambda); ppois(k, lambda) dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd) # Normal qnorm(0.975) # Quantil (z-Wert) rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # Zufallszahlen

t.test(x, mu = 0) # t-Test / KI für mu t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int # Konfidenzintervall prop.test(k, n) # Anteilstest chisq.test(table(a, b)) # Unabhängigkeitstest