Kapitel 3 · Bivariate deskriptive Statistik

Düngemittel & Ertrag — lineare Regression & R²

schwer Übung 7, Aufgabe 1 lineare RegressionKleinste-QuadrateRegressionsgeradeBestimmtheitsmaßResiduen

Zur Wirkung der Düngemittelmenge $X$ auf den Ertrag $Y$ wurden $n=8$ Werte erhoben:

$x_i$ (Dünger)	9	18	27	36	45	54	63	72
$y_i$ (Ertrag)	10	15	30	35	25	30	50	45

a) Welcher Zusammenhang ist zu vermuten (allgemeine Funktionsvorschrift)? b) Berechne die Kleinste-Quadrate-Schätzer $b_0, b_1$ . c) Gib die Regressionsgerade an und deute die Parameter. g) Beurteile die Anpassung mit dem Bestimmtheitsmaß $R^2$ .

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duenger <- c(9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72)
ertrag  <- c(10, 15, 30, 35, 25, 30, 50, 45)
modell <- lm(ertrag ~ duenger)     # Kleinste-Quadrate-Regression
coef(modell)                       # b0, b1
summary(modell)$r.squared          # Bestimmtheitsmaß
plot(duenger, ertrag); abline(modell)

Ausgabe

(Intercept)     duenger
  8.0357143   0.5423280
[1] 0.7697

Lösung

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x <- c(3, 1, 4, 1, 5) # Vektor anlegen y <- rep(c(0, 1), times = c(26, 9)) # 26x 0, 9x 1 s <- seq(0, 2*pi, length.out = 100) # gleichmäßige Folge 1:10 # Ganzzahlfolge length(x); sort(x); rev(x) # Länge, sortieren, umkehren x[x > 2] # logische Indizierung

barplot(table(x), main = "Titel", ylab = "h(a)") # Säulen pie(table(x), labels = c("nein", "ja")) # Kreis hist(x) # Histogramm (Auto-Klassen) hist(x, breaks = seq(50, 110, by = 5), # eigene Klassen col = heat.colors(12), xlab = "kg") plot(s, sin(2*s), type = "l", col = "blue", lwd = 2) # Linie lines(s, cos(s)) # weitere Linie ergänzen boxplot(x) # Box-Plot

mean(x) # arithmetisches Mittel median(x) # Median quantile(x, c(.25, .5, .75)) # Quartile quantile(x, 0.9) # 90%-Quantil # Modus: Ausprägung mit größter Häufigkeit names(which.max(table(x)))

var(x) # Stichprobenvarianz (/ (n-1)) sd(x) # Standardabweichung IQR(x) # Interquartilsabstand range(x); diff(range(x)) # Min/Max bzw. Spannweite sd(x) / mean(x) # Variationskoeffizient

dbinom(k, size = n, prob = p) # Binomial P(X = k) pbinom(k, n, p) # P(X <= k) dpois(k, lambda); ppois(k, lambda) dnorm(x, mean, sd); pnorm(x, mean, sd) # Normal qnorm(0.975) # Quantil (z-Wert) rnorm(100, mean = 0, sd = 1) # Zufallszahlen

t.test(x, mu = 0) # t-Test / KI für mu t.test(x, conf.level = 0.95)$conf.int # Konfidenzintervall prop.test(k, n) # Anteilstest chisq.test(table(a, b)) # Unabhängigkeitstest